Χωρισμός τετραγώνου σε μικρότερα τετράγωνα

[Ανδρέας Πούλος]

Ένα δεδομένο τετράγωνο να χωριστεί σε μικρότερα τετράγωνα έτσι ώστε:
Να χωρίζεται σε 4 τετράγωνα.
Να χωρίζεται σε 5 τετράγωνα.
Να χωρίζεται σε 6 τετράγωνα.
....................................
Να χωρίζεται σε 20 τετράγωνα.

Να στείλετε τις λύσεις με μορφή σχήματος για κάθε μία από τις 17 περιπτώσεις.
Σας πληροφορώ ότι μία ομάδα μαθητών του Δημοτικού του Σχολείου μου (Π.Π.Σ.Π.Θ.) (4η τάξη)
σήμερα στο μάθημα βρήκε πολλά από αυτά τα ζητούμενα.
Υπόδειξη: Το πρόβλημα δεν αναφέρει ότι τα τετράγωνα πρέπει να είναι ίσα μεταξύ τους.
Η λύσεις να παρουσιαστούν μέχρι Κυριακή 10 Μαρτίου 2013.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Ανδρέας Πούλος]

Επαναφέρω το θέμα αυτό. Δεν είδα και πολύ ενδιαφέρον από τους μικρούς,
(εδώ που τα λέμε καθόλου, αλλά ας μην το κάνουμε και θέμα).
Αν υποψιαστώ ότι δεν ενδιαφέρει και τους μεγαλύτερους, τότε θα πέσω από ύψος .

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[gavrilos]

Καλησπέρα.

Δίνω μερικές περιπτώσεις για αρχή.Ας αρχίσουμε με τα εύκολα.Σε 4 τετράγωνα.

Τετραγωνο σε 4.PNG (4.63 KiB) Προβλήθηκε 3484 φορές

Σε 7 τώρα.

Τετραγωνο σε 7.PNG (4.31 KiB) Προβλήθηκε 3484 φορές

Σε 10 τετράγωνα έχουμε 2(και παραπάνω ίσως) τρόπους.

Τετραγωνο σε 10.PNG (6.54 KiB) Προβλήθηκε 3484 φορές

Τετραγωνο σε 10(2).PNG (17.01 KiB) Προβλήθηκε 3484 φορές

Τώρα σε 13 μέρη όπου και εδώ θα δώσω δύο περιπτώσεις.

Τετραγωνο σε 13.PNG (6.57 KiB) Προβλήθηκε 3484 φορές

**Η δεύτερη περίπτωση στην επόμενη δημοσίευση γιατί δεν "χωράει" άλλο σχήμα.

Φιλικά,
gavrilos

[gavrilos]

Ας συνεχίσουμε.

Η δεύτερη περίπτωση του χωρισμού σε 13 μέρη.

Τετραγωνο σε 13(2).PNG (14.89 KiB) Προβλήθηκε 3483 φορές

Σε 16 τετράγωνα πάλι 2 τρόποι.

Τετραγωνο σε 16.PNG (7.89 KiB) Προβλήθηκε 3483 φορές

Τετραγωνο σε 16(2).PNG (13.51 KiB) Προβλήθηκε 3483 φορές

.

Και σε 19 μέρη.

Τετραγωνο σε 19.PNG (13.19 KiB) Προβλήθηκε 3483 φορές

[gavrilos]

Γεια και πάλι.

Με τη γνωστή μέθοδο της επιπλέον ευθείας (όσοι δεν την ξέρουν http://digitalschool.minedu.gov.gr/modu ... 1551,4995/)
χωρίζουμε την πλευρά σε τρία ίσα τμήματα.

Τετράγωνο σε 9 μέρη.

Τετράγωνο σε 9.PNG (6.54 KiB) Προβλήθηκε 3458 φορές

Σε 12 μέρη.

Τετράγωνο σε 12.PNG (8.8 KiB) Προβλήθηκε 3458 φορές

Σε 15 μέρη.

Τετραγωνο σε 15.PNG (8.83 KiB) Προβλήθηκε 3458 φορές

Σε 18 τετράγωνα.

Τετραγωνο σε 18 (2).PNG (17.57 KiB) Προβλήθηκε 3458 φορές

Για όλες αυτούς τους χωρισμούς υπάρχουν παραπάνω τρόποι.

[Ανδρέας Πούλος]

Αγαπητέ Γαβρίλο,
σε ευχαριστώ πολύ για τον κόπο που έκανες να βρεις λύσεις και να κατασκευάσεις και τα αντίστοιχα σχήματα.
Θυμίζω ότι μένουν να απαντηθούν οι περιπτώσεις χωρισμού τετραγώνου σε
5, 6, 8, 11, 14, 17 και 20 τετράγωνα.
Σε δεύτερη φάση θα ακολουθήσει το πρόβλημα του αριθμού των διαφορετικών τρόπων χωρισμού τετραγώνου σε τετράγωνα από 4 έως και 20.
Βεβαίως, όπως μου έγραψε σε προσωπικό μήνυμα κάποιος καλός φίλος, δεν είναι ότι το πιο εύκολο πρόβλημα για μαθητές Δημοτικού, όπως ήταν η αρχική απαίτηση.
Πήρα θάρρος επειδή δύο παιδιά του Δημοτικού βρήκαν λύση στο χωρισμό τετραγώνου σε 8 και 10 τετράγωνα. Μάλλον ήμουν υπερβολικά αισιόδοξος.
Πάντως, ας συμφωνήσουμε ότι το πρόβλημα έχει ενδιαφέρον από την άποψη της Συνδυαστικής Γεωμετρίας
ή ακόμα από τη σκοπιά του απλού πειραματισμού - παιχνιδιού με γεωμετρικά σχήματα.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[Mihalis_Lambrou]

Δεν δίνω πλήρη απάντηση γιατί η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές (και πνίίίίγομαι αυτό τον καιρό).

Μπορούμε ΑΠΛΑ να δείξουμε ότι μπορούμε να κάνουμε ΟΛΕΣ τις κατασκευές από και πάνω που μαζί με την εξαντλούν όλες τις εφικτές περιπτώσεις.

Η ιδέα είναι να βρούμε έναν συστηματικό τρόπο για να κάνουμε όλες τις κατασκευές, όχι μία μία χωριστά και "φτου από την αρχή". Δηλαδή οι κατασκευές μέχρι το δεν έχουν καμία διαφορά από αυτές που είναι μεγαλύτερες του .

Η κεντρική ιδέα είναι: Χωρίζω το τετράγωνο σε μέρη. Μετά, ένα από τα μέρη το χωρίζω στα . Έτσι έχω νέο χωρισμό σε μέρη (δικαιολογείστε το).

Συμπέρασμα: και
και


Δικαιολογείστε! Για παράδειγμα δείξτε πώς γίνεται χωρισμός σε ή ή τετραγωνάκια.

Μ.

[gavrilos]

Καλημέρα,

Κύριε Λάμπρου αυτή ακριβώς είναι και η σημασία του προβλήματος πιστεύω.Να βρεθεί από τον μαθητή αυτός ο αλγόριθμος και να χρησιμοποιηθεί για την επέκταση του χωρισμού του τετραγώνου σε διαφορετικό αριθμό μικρότερων.Αν και όχι για Δ' Δημοτικού εκτιμώ πως μία τέτοια άσκηση θα βοηθούσε πολύ την ανάπτυξη της σκέψης παιδιών ΣΤ' Δημοτικού.Γιατί από όσα έχω καταλάβει τον καιρό που πάω σχολείο , αν ο μαθητής μάθει να σκέφτεται με μαθηματικό τρόπο θα καταφέρει και να κατανοήσει δύσκολες έννοιες ,να λύσει δύσκολες ασκήσεις και γενικότερα να εξελιχθεί.Κατά τη γνώμη μου οι γνώσεις μπορούν να διδαχθούν και σε μεγαλύτερη ηλικία,όταν όμως κάποιος μαθητής φτάνει στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο και δεν έχει μάθει να σκέφτεται ώριμα και σωστά για να λύσει κάποιο πρόβλημα δε θα μπορέσει να το κάνει ποτέ.Κι αυτός νομίζω είναι και ο τομέας που πρέπει να δουλευτεί από τους δασκάλους του δημοτικού στα μαθηματικά για να μπορέσει να βελτιωθεί η --έως τραγική πολλές φορές(ως μαθητής έχω πολλά παραδείγματα φαντάζομαι κι εσείς ως καθηγητής θα έχετε απείρως περισσότερα)-- κατάσταση στα Γυμνάσια και Λύκεια(και όχι μόνο) και να υπάρξουν περισσότεροι μαθητές που να αγαπήσουν τα μαθηματικά.

Με εκτίμηση,
gavrilos

[Ανδρέας Πούλος]

Ο διάλογος για το θέμα συνεχίζεται.
Ο Μιχάλης έδειξε τον τρόπο πώς να χωρίζουμε π.χ. ένα τετράγωνο σε 7, 10, 13, 16 ... τετράγωνα,
αν μπορούμε να χωρίσουμε ένα αρχικό τετράγωνο σε 4 τετράγωνα.
Δεν έχουμε δει πώς χωρίζεται ένα τετράγωνο σε 8 μικρότερα τετράγωνα και σε 20 μικρότερα τετράγωνα.
Αν ολοκληρωθεί και το στάδιο αυτό, τότε θα ζητήσουμε ένα γενικό τρόπο χωρισμού τετραγώνου σε αυθαίρετο αριθμό τετραγώνων εκτός του αριθμού 5.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[polysindos]

Σε οκτώ και σε είκοσι τετράγωνα.

[Ανδρέας Πούλος]

Ο τρόπος χωρισμού ενός τετραγώνου σε 8 μικρότερα τετράγωνα είναι συμβατός με το γενικό μοτίβο που προτείνω.
Δείτε τον παρακάτω πίνακα από τον οποίο προκύπτει το μοτίβο (πιθανώς όχι το μοναδικό).











Τι θέλει να δείξει το μοτίβο αυτό. Αν ζητάμε π.χ. το χωρισμό τετραγώνου σε 8 μικρότερα τετράγωνα από τον τύπο
προκύπτει ότι χωρίζουμε το τετράγωνο σε 16 τετράγωνα, τα 9 τετράγωνα τα θεωρούμε ως ένα ενιαίο τετράγωνο και έτσι έχουμε τον ζητούμενο χωρισμό σε 8 τετράγωνα.
Τα σχήματα που έχουν σχεδιαστεί δείχνουν ακριβώς αυτό το μοτίβο.
Όλοι οι άλλοι χωρισμοί προκύπτουν από το βασικό χωρισμό σε 4, 6, 8, 10, κλπ. τετράγωνα και με τον τύπο που έδειξε και ο Μιχάλης.