Άρρητη εξίσωση (Β-ΛΥΚ-ΑΛΓ)

mathxl · #1

Να λύσετε την εξίσωση
$\sqrt{2x^{2}+3x+5}+\sqrt{2x^{2}-3x+5}= 3x$ στο σύνολο των πραγματικών αριθμών

30 Νοεμβρίου 2009- άλγεβρα β΄λυκείου

Stavroulitsa · #2

Υψώνουμε στο τετράγωνο...
$\sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}=3x\Rightarrow \left( \sqrt{2x^2+3x+5}+\sqrt{2x^2-3x+5}\right)^2=9x^2\Rightarrow 2\sqrt{\left(2x^2+3x+5 \right)\left( 2x^2-3x+5\right)}=5x^2-10$
Ξαναυψώνουμε στο τετράγωνο...
$2\sqrt{\left(2x^2+3x+5 \right)\left(2x^2-3x+5 \right)} =5x^2-10\Rightarrow \left( 2\sqrt{\left(2x^2+3x+5 \right)\left(2x^2-3x+5 \right)} \right)^2=\left( 5x^2-10\right)^2\Rightarrow 16x^4+44x^2+100=25x^4-100x^2+100\Rightarrow 9x^4-144x^2=0\Rightarrow x^2\left(9x^2-144 \right)=0\Rightarrow x^2\left(3x+12 \right)\left(3x-12 \right)=0\Rightarrow 9x^2\left(x+4 \right)\left(x-4 \right)=0$
άρα χ=4 ή χ=-4 ή χ=0. Όμως απορρίπτουμε το χ=-4 επειδή το άθροισμα ριζικών είναι πάντα θετικό ενω 3χ=-12, επείσης απορρίπτουμε το χ=0 επειδή δεν επαληθεύεται...

ΥΓ. Είναι σωστά (ειδικά στο τέλος), κύριε Βασίλη;
ΥΓ2. Ευχαριστώ!

mathxl · #3

Σταυρούλα όλα καλά.
Καλό είναι οι ισοδυναμίες σου να μετατραπούν σε συνεπαγωγές γιατί όταν υψώνουμε μέλη στο τετράγωνο δεν προκύπτει πάντα ισοδύναμη εξίσωση (δηλαδή με ακριβώς ίδιες λύσεις).Πρεπει τα μέλη μας να είναι ομόσημα. Στο τέλος όμως είναι υποχρεωτικό να δούμε ποιες από αυτές τις λύσεις που βρήκαμε είναι λύσεις και της αρχικής μας. Αυτό γίνεται με την επαλήθευση που έκανες. Οπότε αν εξαιρέσουμε το σημείο αυτό, είσαι μπόμπα!

Δες και ένα παράδειγμα απλό
Η εξίσωση x + 3 = 2

έχει ως λύση το -1, α όμως υψώσουμε μέλη στο τετράγωνο προκύπτει νέα εξίσωση ${x^2} + 6x + 5 = 0$ που έχει ύσεις -1 και -5 όμως μόνο το -1 είναι η λύση της αρχικής μας

Ένας τρόπος λοιπόν για να διωξεις τα τετράγωνα ήταν να υψώσεις τα μέλη στο τετράγωνο με μπόλικες πράξεις όπως είδες. Ένας άλλος είναι να δημιουργήσεις διαφορά τετραγώνων στο α΄μέλος. Προσπάθησε την αν θες ξανά πολλαπλασιάζοντας τα μέλη με την διαφορά των ριζών

Άρρητη εξίσωση (Β-ΛΥΚ-ΑΛΓ)

Άρρητη εξίσωση (Β-ΛΥΚ-ΑΛΓ)

Re: Άρρητη εξίσωση

Re: Άρρητη εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση