Σ.T.Y.Α. 1968 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

Όλα τα θέματα συγκεντρώνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Εισαγωγικών - Πανελλαδικών Εξετάσεων

Σ.Τ.Υ.Α. = Σχολή Τεχνικών Υπαξιωματικών Αεροπορίας

1. Αν ενώσουμε τις δυο απέναντι κορυφές $\displaystyle{A , \Gamma}$ παραλληλογράμμου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με τα μέσα $\displaystyle{E ,Z}$ των $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta}$ αντίστοιχα, τότε αυτές τριχοτομούν την διαγώνιο $\displaystyle{B\Delta}$ , δηλαδή είναι $\displaystyle{B\Theta=\Theta K=K\Delta}$ όπου $\displaystyle{\Theta,K}$ τα σημεία τομής των $\displaystyle{AE, \Gamma Z}$ με την $\displaystyle{B\Delta}$ αντίστοιχα.

2. Να αποδείξετε ότι σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ , η γωνία της ακτίνας $\displaystyle{AO}$ και του ύψους $\displaystyle{AE}$ διχοτομείται από την διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{ \widehat{BA\Gamma}}$ .

3. Σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{K}$ φέρνουμε την διάμετρο $\displaystyle{AB}$ και την προεκτείνουμε κατά τμήμα $\displaystyle{B\Gamma=KB}$ . Από το $\displaystyle{\Gamma}$ φέρνουμε την εφαπτομένη $\displaystyle{\Gamma \Delta}$ . Να δειχτεί ότι $\displaystyle{\widehat{AK\Delta}=3\widehat{K\Gamma\Delta}}$

Για μαθητές Γ' Γυμνασίου / Α΄Λυκείου μέχρι 1η Νοεμβρίου 2013, μετά για όλους

edit
διόρθωση έκφρασης στο 3ο θέμα

, ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη που μου το επισήμανε'

#2

parmenides51 έγραψε:Όλα τα θέματα συγκεντρώνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Εισαγωγικών - Πανελλαδικών Εξετάσεων

Σ.Τ.Υ.Α. = Σχολή Τεχνικών Υπαξιωματικών Αεροπορίας

2. Να αποδείξετε ότι σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ εγγεγραμμένο σε κύκλο κέντρου $\displaystyle{O}$ , η γωνία της ακτίνας $\displaystyle{AO}$ και του ύψους $\displaystyle{AE}$ διχοτομείται από την διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{ \widehat{BA\Gamma}}$ .
Για μαθητές Γ' Γυμνασίου / Α΄Λυκείου μέχρι 1η Νοεμβρίου 2013, μετά για όλους

: 1968.png (17.43 KiB) Προβλήθηκε 572 φορές

Έστω ότι η διχοτόμος $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ της γωνίας $\displaystyle{\widehat {\rm A}}$ του τριγώνου $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Gamma }$ τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο σημείο

. Φέρνω τη διάμετρο AOZ

. Θα δείξω ότι $\displaystyle{{\widehat {\rm A}_1} = {\widehat {\rm A}_2}}$
$\displaystyle{{\widehat {\rm A}_1} = {90^0} - {\rm A}\widehat \Delta {\rm B},{\widehat {\rm A}_2} = {90^0} - {\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm H}.}$ .
$\displaystyle{{\rm A}\widehat \Delta {\rm B} = \frac{1}{2}}$ [τόξο( $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ) $\displaystyle{ + }$ τόξο( $\displaystyle{\Gamma {\rm H}}$ )]= $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ [τόξο( $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}}$ ) $\displaystyle{ + }$ τόξο(

)]= $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ [τόξο(

)]= $\displaystyle{{\rm A}\widehat {\rm Z}{\rm H}}$ .

Άρα, $\displaystyle{{\widehat {\rm A}_1} = {\widehat {\rm A}_2}}$ .

#3

parmenides51 έγραψε:Όλα τα θέματα συγκεντρώνονται στο Ευρετήριο Θεμάτων Εισαγωγικών - Πανελλαδικών Εξετάσεων

Σ.Τ.Υ.Α. = Σχολή Τεχνικών Υπαξιωματικών Αεροπορίας

1. Αν ενώσουμε τις δυο απέναντι κορυφές $\displaystyle{A , \Gamma}$ παραλληλογράμμου $\displaystyle{AB\Gamma\Delta}$ με τα μέσα $\displaystyle{E ,Z}$ των $\displaystyle{B\Gamma}$ και $\displaystyle{A\Delta}$ αντίστοιχα, τότε αυτές τριχοτομούν την διαγώνιο $\displaystyle{B\Delta}$ , δηλαδή είναι $\displaystyle{B\Theta=\Theta K=K\Delta}$ όπου $\displaystyle{\Theta,K}$ τα σημεία τομής των $\displaystyle{AE, \Gamma Z}$ με την $\displaystyle{B\Delta}$ αντίστοιχα.

: 1968.1png.png (15.2 KiB) Προβλήθηκε 553 φορές

Είναι $\displaystyle{{\rm A}{\rm Z}// = {\rm E}\Gamma }$ , άρα το τετράπλευρο $\displaystyle{{\rm A}{\rm E}\Gamma {\rm Z}}$ είναι παραλληλόγραμμο.
Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm B}{\rm K}\Gamma }$ , είναι

μέσο της $\displaystyle{{\rm B}\Gamma }$ και $\displaystyle{{\rm E}\Theta //\Gamma {\rm K}}$ , οπότε $\displaystyle{\Theta }$ θα είναι το μέσο της

. Δηλαδή $\displaystyle{{\rm B}\Theta = \Theta {\rm K}}$ (1)

Στο τρίγωνο $\displaystyle{{\rm A}\Theta \Delta }$ , είναι

μέσο της $\displaystyle{{\rm A}\Delta }$ και $ZK //\displaystyle{{\rm A}\Theta }$ , οπότε

θα είναι το μέσο της $\displaystyle{\Theta \Delta }$ . Δηλαδή $\displaystyle{\Theta {\rm K} = {\rm K}\Delta }$ (2).

Από (1) και (2), $\displaystyle{{\rm B}\Theta = \Theta {\rm K} = {\rm K}\Delta }$

Σ.T.Y.Α. 1968 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Σ.T.Y.Α. 1968 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.T.Y.Α. 1968 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: Σ.T.Y.Α. 1968 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση