ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

[parmenides51]

1. Να βρεθούν δυο διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί , οι οποίοι έχουν γινόμενο .


2. Δεξαμενή γεμίζει από τρεις βρύσες. Η α' βρύση την γεμίζει σε ώρες, η β' σε ώρες και η γ' σε άγνωστο χρόνο. Αφού ανοίξουμε την α' για ώρες. ανοίγουμε στην συνέχεια την β' και τρέχουν μαζί για ώρες, μετά ανοίγουμε την γ΄ και τρέχουν μαζί για ώρες. Τώρα κλείνουμε τις δυο πρώτες βρύσες και αφήνουμε ανοικτή την τρίτη, η οποία από την στιγμή αυτή χρειάζεται ώρες και λεπτά για να γεμίσει την δεξαμενή. Να βρεθεί σε πόσο χρόνο η βρύση γ' θα γέμιζε μόνη της εξαρχής την δεξαμενή.


Για μαθητές Γυμνασίου μέχρι 15 Νοεμβρίου 2013, μετά για όλους

[Παναγιώτης Χ.]

Το πρόβλημα 1 περιγράφεται με την εξίσωση: όπου είναι ακέραιος αριθμός.
άρα
και
και αφού το είναι ακέραιος, το πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο.
Το πλησιέστερο τέλειο τετράγωνο στο είναι το και άρα .
Οπότε οι δύο διαδοχικοί αριθμοί είναι και .
Επαλήθευση:

[parmenides51]

καλώς ήρθες

τα μαθηματικά τα γράφουμε σε LateX εδώ στο (=mathematica.gr),

για οδηγίες δες εδώ και στις παραπομπές του

(χοντρικά αρκεί να γράψεις 2 δολλάρια συνεχόμενα πριν και μετά τους αριθμούς με τις εξισώσεις κλπ,
και το latex δεν αναγνωρίζει απευθείας ελληνικούς χαρακτήρες οπότε τα γράφουμε συνήθως τα Αγγλικά τα γράμματα)

σχετικά με την λύση σου, βρήκες όντως δυο αριθμούς τέτοιους, γιατί όμως να μην υπάρχουν άλλοι;

πως εξασφαλίζουμε δηλαδή οτι αυτοί είναι μοναδικοί, οτι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις στο πρόβλημά μας;

δεν είναι κατί φοβερά δύσκολο αυτό που ρωτάω, αλλά πρέπει να αναφερθεί

φιλικά

[Παναγιώτης Χ.]

Πρόβλημα 2:
Η βρύση α' είναι ανοιχτή για ώρες. Το σε σχέση με τις ώρες που θα γέμιζε η δεξαμενή από τη βρύση α' είναι το . Άρα η βρύση α' γέμισε μόνη της το της δεξαμενής.
Η βρύση β' είναι ανοιχτή για ώρες. Το σε σχέση με τις ώρες που θα γέμιζε η δεξαμενή από τη βρύση β' είναι το . Άρα η βρύση β' γέμισε μόνη της το της δεξαμενής.
Οι δύο βρύσες α' και β' γέμισαν το της δεξαμενής. Άρα η βρύση γ' στις ώρες που ήταν ανοιχτή γέμισε το .
Αφού για να γεμίσει η βρύση γ' το χρειάστηκε ώρες, για να γεμίσει όλη τη δεξαμενή θα χρειαστεί ώρες ή ώρες και λεπτά.

[Παναγιώτης Χ.]

καλώς ήρθες

τα μαθηματικά τα γράφουμε σε LateX εδώ στο (=mathematica.gr),

για οδηγίες δες εδώ και στις παραπομπές του

(χοντρικά αρκεί να γράψεις 2 δολλάρια συνεχόμενα πριν και μετά τους αριθμούς με τις εξισώσεις κλπ,
και το latex δεν αναγνωρίζει απευθείας ελληνικούς χαρακτήρες οπότε τα γράφουμε συνήθως τα Αγγλικά τα γράμματα)

σχετικά με την λύση σου, βρήκες όντως δυο αριθμούς τέτοιους, γιατί όμως να μην υπάρχουν άλλοι;

πως εξασφαλίζουμε δηλαδή οτι αυτοί είναι μοναδικοί, οτι δεν υπάρχουν άλλες λύσεις στο πρόβλημά μας;

δεν είναι κατί φοβερά δύσκολο αυτό που ρωτάω, αλλά πρέπει να αναφερθεί

φιλικά

Εντάξει, τα διόρθωσα και την επόμενη φορά θα έχω υπ'όψη μου να γράφω σε LaTeX.

Όσον αφορά την απάντησή μου, ναι συμφωνώ ότι υπάρχουν και άλλα πιθανά ζευγάρια.

[parmenides51]

το ποσοστό για να φαίνεται πατάς την κάθετο \ πριν το σύμβολο του ποσοστού πχ. (μερικές άλλες συμβουλές εδώ)

δεν υπάρχουν άλλες λύσεις, είναι το μοναδικό ζευγάρι,
αλλά πως θα μας πείσεις οτι δεν υπάρχει άλλο;

στις βρύσες είσαι σωστός

[socrates]

το ποσοστό για να φαίνεται πατάς την κάθετο \ πριν το σύμβολο του ποσοστού πχ. (μερικές άλλες συμβουλές εδώ)

δεν υπάρχουν άλλες λύσεις, είναι το μοναδικό ζευγάρι,
αλλά πως θα μας πείσεις οτι δεν υπάρχει άλλο;

στις βρύσες είσαι σωστός

Βέβαια αυτό δε ζητείται στο θέμα... (υπάρχουν 2 τέτοια ζεύγη)

[parmenides51]

Έχεις ένα δίκιο, δεν ζητείται να βρεθούν όλοι οι διαδοχικοί ακέραιοι με γινόμενο παρά μόνο δυο.
Για κάποιον λόγο είχα σκαλώσει και νόμιζα οτι ζητούσε μόνο θετικούς ακέραιους, πράγμα που δεν συνέβαινε .
Οπότε μας κάνει η λύση του Παναγιώτη.

Για την ιστορία αντιγράφω την δοθείσα λύση από το Δελτίο του Πάλλα, μόνο και μόνο για τον συλλογισμό της.

1. Να βρεθούν δυο διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί , οι οποίοι έχουν γινόμενο .

Οι ζητούμενοι αριθμοί ως διαδοχικοί ακέραιοι είναι πρώτοι μεταξύ τους. Για να τους προσδιορίσω από το γινόμενο τους , αρκεί να το αναλύσω σε γινόμενο διαδοχικών παραγόντων, οπότε ο μικρότερος αυτών θα είναι ο μικρότερος από τους ζητούμενους ,ενώ ο μεγαλύτερος αυτών θα είναι ο μεγαλύτερος από τους ζητούμενους. Επειδή , έπεται οτι οι ζητούμενοι διαδοχικοί ακέραιοι είναι οι αριθμοί και .