ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

1. Αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}$ τότε δυο τουλάχιστον από τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι αντίθετοι.
( $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma\ne 0}$ )

2. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι $\displaystyle{2}$ και ο πέμπτος όρος της είναι $\displaystyle{7}$ . Πόσους όρους πρέπει να λάβουμε, ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με $\displaystyle{63}$ ;

Για μαθητές Α' Λυκείου μέχρι 15 Νοεμβρίου 2013, μετά για όλους

raf616 · #2

parmenides51 έγραψε:2. Ο πρώτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι $\displaystyle{2}$ και ο πέμπτος όρος της είναι $\displaystyle{7}$ . Πόσους όρους πρέπει να λάβουμε, ώστε το άθροισμα τους να είναι ίσο με $\displaystyle{63}$ ;

Αν

η διαφορά της προόδου, σύμφωνα με την υπόθεση θα ισχύει:

a_1 = 2

$a_5 = 7 \Leftrightarrow a_1 + 4n = 7 \Leftrightarrow 4n = 5 \Leftrightarrow n = \dfrac{5}{4}$

Άρα:

$\displaystyle{S = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \Leftrightarrow 2S = n\left(\dfrac{11 + 5n}{4}\right) \Leftrightarrow 504 = 11n + 5n^2 \Leftrightarrow 5n^2 + 11n - 504 = 0}$

Λύνοντας την τελευταία θα πάρουμε:

n = 18

$n = -\dfrac{112}{5}$

Η δεύτερη τιμή απορρίπτεται και άρα θα πρέπει να πάρουμε

όρους.

raf616 · #3

parmenides51 έγραψε:1. Αν ισχύει η σχέση $\displaystyle{\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}}$ τότε δυο τουλάχιστον από τους $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ είναι αντίθετοι.
( $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma \ne 0}$ και $\displaystyle{\alpha+\beta+\gamma\ne 0}$ )

Ισοδύναμα έχουμε:

$\displaystyle{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c} \Leftrightarrow \frac{bc + ca + ab}{abc} = \frac{1}{a + b + c} \Leftrightarrow ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + 2abc = 0 \Leftrightarrow (a + b)(b + c)(c + a) = 0}$

Άρα, αποδέιξαμε το ζητούμενο.

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΜΠΟΡΟΠΛΟΙΑΡΧΩΝ 1966 ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση