ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

parmenides51 · #1

Αυτό είναι το τελευταίο θέμα εξετάσεων που προτείνω στον φάκελο του

''Ασκήσεις ΜΟΝΟ γιά μαθητές'',
γιατί παρατηρώ οτι δεν ασχολούνται (καλώς ή κακώς) οι μαθητές με τα θέματα αυτά, μολονότι δεν είναι δύσκολα.
Τα επόμενα εύκολα θα τα προτείνω στον φάκελο ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ που έχει και Ευρετήριο.
Με τον καιρό μετά την λήξη της προθεσμίας, όσα θέματα Εξετάσεων έχω προτείνει στον φάκελο ''Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές''
θα μεταφερθούν στον φάκελο ''ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ'' για να είναι μαζεμένα.

1. Να βρεθούν τρεις αριθμοί διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, των οποίων το άθροισμα είναι $\displaystyle{15}$ και το γινόμενο $\displaystyle{105}$ .

2. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2\mu x+3\mu -2=0}$ έχει πραγματικές ρίζες;

3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\log x^2+\frac{2}{\log \sqrt{x}}=6}$

Για μαθητές Λυκείου μέχρι τις 20 Νοέμβρη 2013, μετά για όλους

raf616 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθούν τρεις αριθμοί διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, των οποίων το άθροισμα είναι $\displaystyle{15}$ και το γινόμενο $\displaystyle{105}$ .

Έστω

ο πρώτος όρος. Τότε a_2 = a_1 + n

και

αν

η διαφορά της προόδου. Σύμφωνα με την υπόθεση έχουμε:

$a_1 + a_2 + a_3 = 15 \Leftrightarrow a_1 + n = 5 \Leftrightarrow a_2 = 5$

Ακόμα:

$a_1a_2a_3 = 105 \Leftrightarrow a_1 \cdot 5 \cdot (a_2 + n) = 105 \Leftrightarrow 5a_1(5 + n) = 105 \Leftrightarrow 5a_1 + a_1n = 21$

Από τη σχέση $a_1 + n = 5 \Leftrightarrow a_1 = 5 - n$ έχουμε:

$5a_1 + a_1n = 21 \Leftrightarrow 5(5 - n) + (5 - n)n = 21 \Leftrightarrow 25 - n^2 = 21 \Leftrightarrow n = \pm 2$

Όποια από τις περιπτώσεις και αν πάρουμε θα βρούμε έυκολα ότι οι όροι είναι 3, 5, 7

gavrilos · #3

parmenides51 έγραψε:3. Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{\log x^2+\frac{2}{\log \sqrt{x}}=6}$

Με βάση τις ιδιότητες των λογαρίθμων η εξίσωση γίνεται $\displaystyle{2\log x+\frac{4}{\frac{\log x}{2}}=6\Leftrightarrow \log ^{2}x-3\log x+2=0\Leftrightarrow (\log x-1)(\log x-2)=0}$ .

Άρα $\displaystyle{\log x=1}$ ή $\displaystyle{\log x=2}$ δηλαδή $\displaystyle{x=10}$ ή $\displaystyle{x=100}$ .

gavrilos · #4

parmenides51 έγραψε:2. Για ποιες τιμές του $\displaystyle{\mu}$ η εξίσωση $\displaystyle{x^2-2\mu x+3\mu -2=0}$ έχει πραγματικές ρίζες;

Θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός δηλαδή

$\displaystyle{4m^{2}-12m+8\geq 0\Leftrightarrow m^{2}-3m+2\geq 0\Leftrightarrow (m-1)(m-2)\geq 0\Leftrightarrow m\in (-\infty,1]\cup[2,+\infty)}$ .

Edit:Έβαλα αγκύλη στο άπειρο.

Ευχαριστώ τον parmenides51.

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1965 ΑΛΓΕΒΡΑ

Μέλη σε σύνδεση