Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

#1

Με αφορμή κάτι που έγραψε ο Θανάσης (KARKAR) εδώ

: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png (8.97 KiB) Προβλήθηκε 705 φορές

Αν

είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου ορθογωνίου τριγώνου ABC

με την υποτείνουσα

, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{(ABC) = PB \cdot PC}$

Μέχρι 7/6/2015

Γιώργος Απόκης · #2

Μιας και πέρασε η μέρα...

Συμπληρώνω το σχήμα με τα τμήματα $\displaystyle{x,y,z}$ που είναι ίσα ανά δύο ως εφαπτόμενα τμήματα από τα $\displaystyle{A,B,C}$ αντίστοιχα.

Αν $\displaystyle{s}$ η ημιπερίμετρος του τριγώνου, έχουμε : $\displaystyle{2x+2y+2z=2s\Rightarrow x+y+z=s~(1)}$ . Επίσης, $\displaystyle{x+y=c,x+z=b}$ .

Από τις τελευταίες σχέσεις, με αφαίρεση κατά μέλη με την (1) έχουμε : $\displaystyle{y=s-b,z=s-c}$ . Eπομένως :

$\displaystyle{PB\cdot PC=y\cdot z=(s-b)(s-c)=\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)=\frac{a+c-b}{2}\cdot \frac{a-c+b}{2}=}$

$\displaystyle{\frac{1}{4}[a^2-(b-c)^2]\overset{\hat A=90^o}=\frac{1}{4}[b^2+c^2-(b-c)^2]=\frac{1}{4}(b^2+c^2-b^2+2bc-c^2)=\frac{2bc}{4}=\frac{bc}{2}=(ABC)}$

Ιστοσελίδα · #3

george visvikis έγραψε:Με αφορμή κάτι που έγραψε ο Θανάσης (KARKAR) [url=<a class="linkification-ext" href="viewtopic.php?f=22&t=49864" title="Linkification: viewtopic.php?f=22&t=49864">http://www. ... t=49864</a>]εδώ[/url]

Αν είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{(ABC) = PB \cdot PC}$

Μέχρι 7/6/2015

Καλημέρα!

: Εμβαδόν-ορθογωνίου-τριγώνου-(Γεωμετρία-Β').png (15 KiB) Προβλήθηκε 631 φορές

$\rho \tau = (ABC) = \dfrac{{(\rho + x)(\rho + y)}}{2} = \dfrac{{{\rho ^2} + \rho (x + y) + xy}}{2}\mathop = \limits^{x + y = \tau - \rho \,} \dfrac{{\rho \tau + xy}}{2}$

Έτσι, $\rho \tau = xy = (ABC)$

Γιώργος Απόκης · #4

Μιχάλης Νάννος έγραψε:
george visvikis έγραψε:Με αφορμή κάτι που έγραψε ο Θανάσης (KARKAR) [url=<a class="linkification-ext" href="viewtopic.php?f=22&t=49864" title="Linkification: viewtopic.php?f=22&t=49864">http://www. ... t=49864</a>]εδώ[/url]

Αν είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{(ABC) = PB \cdot PC}$

Μέχρι 7/6/2015
Καλημέρα!
Εμβαδόν-ορθογωνίου-τριγώνου-(Γεωμετρία-Β').png
$\rho \tau = (ABC) = \dfrac{{(\rho + x)(\rho + y)}}{2} = \dfrac{{{\rho ^2} + \rho (x + y) + xy}}{2}\mathop = \limits^{x + y = \tau - \rho \,} \dfrac{{\rho \tau + xy}}{2}$

Έτσι, $\rho \tau = xy = (ABC)$

Ωραιότατη λύση!

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

george visvikis έγραψε:Με αφορμή κάτι που έγραψε ο Θανάσης (KARKAR) εδώ

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου.png
Αν είναι το σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου ορθογωνίου τριγώνου με την υποτείνουσα , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{(ABC) = PB \cdot PC}$

Μέχρι 7/6/2015

στο σχήμα του Μιχάλη

$\displaystyle{{(x + y)^2} = {(x + \rho )^2} + {(y + \rho )^2} \Leftrightarrow xy = \frac{{\left( {2x + 2y + 2\rho } \right)\rho }}{2} = \tau \rho = \left( {ABC} \right)}$

Ηλιας Φραγκάκος · #6

ΚΥΡΙΑΚΟΣ
Φέρουμε BD//AC

και

. Tέμνονται στο

. Έστω

το έγκεντρο του ABC

και από αυτό διέρχονται ευθείες $\epsilon^1 //AB$ και $\epsilon^2 // AC$ . H ευθεία $\epsilon^1$ τέμνει τις

στο

,

στο

και

στο

. H ευθεία $\epsilon^2$ τέμνει τις

στο

,

στο

και

στο

. Tα τρίγωνα ABC

και

είναι ίσα και ισεμβαδικά με το ορθογώνιο IJKP

του οποίου οι πλευρές

και

είναι ίσες, αντίστοιχα, με τις

και

. (

και

επειδή

και

ως εφαπτόμενες από τα

και

στον εγγεγραμμένο κύκλο με κέντρο το

). Τα τρίγωνα PQC

και

είναι ίσα, καθώς επίσης και τα JBR

και

. Η ισότητα αποδεικνύεται επειδή είναι ορθογώνια, έχουν μια γ. κατά κορυφήν και μια πλευρά (την απέναντι από τις κατά κορυφήν ίσες γωνίες) ίση, ως ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Άρα (ABC)=(PQJI)=KJ*PK=BD''=CD*BD

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Re: Εμβαδόν ορθογωνίου τριγώνου(Γεωμετρία Β')

Μέλη σε σύνδεση