Μέγιστο τμήμα

KARKAR · #1

α) Αποδείξτε ότι αν το x^2+y^2

είναι σταθερό, το γινόμενο

μεγιστοποιείται , όταν x=y

: Μέγιστο τμήμα.png (13.43 KiB) Προβλήθηκε 625 φορές

β) Σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2R

, κινείται σημείο

. Σχηματίζω το ισόπλευρο

τρίγωνο ASP

και το τετράγωνο BSTQ

. Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος

.

Ορέστης Λιγνός · #2

Καλησπέρα!

α) Αφού $xy \leq \dfrac{x^2+y^2}{2}$ , η μέγιστη τιμή του

είναι η $\dfrac{x^2+y^2}{2}$ , και λαμβάνεται όταν $\dfrac{x^2+y^2}{2}=xy$ , δηλαδή x=y

.

β) Προφανώς $\widehat{PST}=120$ , και με ν.συνημιτόνων στο PST

, $PT^2=PS^2+ST^2+PS \cdot ST =AS^2+SB^2+AS \cdot SB \leq 4R^2 +\dfrac{AS^2+SB^2}{2}=6R^2 \Leftrightarrow \boxed{PT \leq R\sqrt{6}}$ ,

και λαμβάνεται όταν AS=SB

.

Ratio · #3

Και μια λύση με χρήση παραγώγων

Έστω $x^{2}+y^2=c$ (με

σταθερό πραγματικό αριθμό $\Leftrightarrow y^2=c-x^2\Leftrightarrow \left | y \right |=\sqrt{c-x^2}$
όπου y>0

$\Leftrightarrow y=\sqrt{c-x^2}$

Θεωρούμε συνάρτηση $f(x)=xy=x\sqrt{c-x^2}$
παραγωγίζοντας την f(x)

προκύπτει $f'(x)=(x\sqrt{c-x^2})'=\sqrt{c-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{c-x^2}}=\frac{c-2x^2}{\sqrt{c-x^2}}$
$f'(x)=0\Leftrightarrow \frac{c-2x^2}{\sqrt{c-x^2}}=0\Leftrightarrow c-2x^2=0\Leftrightarrow x^2=\frac{c}{2}\Leftrightarrow \left | x \right |=\frac{\sqrt{2c}}{2},\\ (x>0)\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2c}}{2}$
Το τριώνυμο $c-2x^2>0 , x\in (0,\frac{\sqrt{2c}}{2})$ και $c-2x^2<0 , x \in (\frac{\sqrt{2c}}{2},+\infty )$
άρα η $f(x)\uparrow x\in (0,\frac{\sqrt{2c}}{2})$
και $f(x)\downarrow x\in (\frac{\sqrt{2c}}{2},+\infty )$

άρα η f(x)

παρουσιάζει μέγιστο για $x=\frac{\sqrt{2c}}{2}$

$y^2=c-x^2=c-(\frac{\sqrt{2c}}{2})^2=\frac{4c-2c}{4}=\frac{2c}{4}\Leftrightarrow \left |y \right |=\frac{\sqrt{2c}}{2}, (y>0)\\ y=\frac{\sqrt{2c}}{2}$
Άρα $f(x)_{max}$ όταν $x=y=\frac{\sqrt{2c}}{2}$

Μέγιστο τμήμα

Μέγιστο τμήμα

Re: Μέγιστο τμήμα

Re: Μέγιστο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση