Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

[margk]

Η ίδια άσκηση viewtopic.php?f=53&t=21107&p=106302#p106302

[Γιώργος Απόκης]

Η ίδια άσκηση viewtopic.php?f=53&t=21107&p=106302#p106302

[Α.Αποστόλου]

Ας δούμε κι άλλες γνώμες.

Καλημέρα σε όλους.

Στο σχολικό βιβλίο (Γ΄ Λυκείου), στην ενότητα 2.3, η άσκηση Α10 (σελ. 239) αναφέρει:

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της η οποία άγεται από το σημείο .

Η απάντηση είναι ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι και .

Δεν είναι η ίδια περίπτωση, καθώς στην άσκηση του σχολικού προκύπτουν δύο λύσεις κατά την επίλυσης της εξίσωσης.
Εδώ έχουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις που αξιώνουμε να εξετασθούν.

Όπου πάμε βέβαια στο λυσάρι για την άσκηση του σχολικού και διαβάσουμε:
"...επομένως οι ζητούμενες εφαπτόμενες προκύπτουν..."
Ποιές ζητούμενες; Πότε έγινε ο ενικός πληθυντικός;

Το ότι το βιβλίο έχει (επαναλαμβανόμενα) συντακτικό λάθος, αυτό δεν το καθιστά ορθό.

Αν ο συγγραφέας δεν γνωρίζει να ξεχωρίσει τον ενικό από τον πληθυντικό ας βάλει ποσοδείκτη.
"Να βρεθεί κάθε εξίσωση εφαπτομένης που διέρχεται από το σημείο"

Αλλιώς καταλήγουμε στο αμίμητο: Η εφαπτόμενη ευθεία είναι... 2.
Και ερχόμαστε εκ των υστέρων να το θεωρούμε σωστό!

Εάν είναι να τα εξετάσουμε όλα, τότε θα πρέπει να δειχθεί επιπλέον ότι από το σημείο δεν διέρχεται κατακόρυφη εφαπτομένη. (σε αντίστοιχο πρόβλημα)

Στα ελληνικά το άρθρο <η> είναι οριστικό και ορίζει ένα σε πλήθος συγκεκριμένο αντικείμενο ή πρόσωπο κτλ.
Αυτή η παραβίαση του πλήθους μάλλον έχει προκύψει από τα Αγγλικά, δεν μπορώ να το εξηγήσω αλλιώς.

Είναι ένα τυπικό λάθος που κάνουμε πάρα μα πάρα πολλές φορές (ανάμεσα στα άλλα).

Το "να λυθεί η εξίσωση" (στους πραγματικούς για να είναι πλήρης)
το συγχέουμε με το "να βρεθεί η λύση της εξίσωσης"
Δεν λένε το ίδιο.

Ακόμα ένα συντακτικό λάθος που κάνουμε συχνά (όχι το βιβλίο)

"Δίνονται οι συναρτήσεις , να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων "
Αμ δε! "Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων "

Δεν μπορεί να αξιώνουμε αυστηρότητα λόγου και να μιλάμε γλώσσα που δεν ακολουθεί κανόνες.
(μου ήρθε και άλλο παράδειγμα: εκείνο το ρημάδι το μηδέν και το ένα καημό το έχω να ακούσω κάποιον να τα κλίνει)

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους.

Στο σχολικό βιβλίο (Γ΄ Λυκείου), στην ενότητα 2.3, η άσκηση Α10 (σελ. 239) αναφέρει:
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της η οποία άγεται από το σημείο .
Η απάντηση είναι ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι και .

Δεν είναι η ίδια περίπτωση, καθώς στην άσκηση του σχολικού προκύπτουν δύο λύσεις κατά την επίλυσης της εξίσωσης.
Εδώ έχουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις που αξιώνουμε να εξετασθούν.

Καλησπέρα. Λυπάμαι, αλλά δεν κάτι δεν καταλαβαίνω.

Νομίζω ότι είναι ακριβώς η ίδια περίπτωση. Αν πάρουμε εξίσωση εφαπτομένης σε τυχαίο σημείο του γραφήματος της συνάρτησης και χρησιμοποίησουμε τη συνθήκη να διέρχεται από το δοθέν σημείο, θα οδηγηθούμε σε εξίσωση με δύο διακριτές ρίζες (η μία διπλή, αφού είναι σημείο επαφής). Τι διαφορά έχει από την άσκηση του σχολικού βιβλίου;

Εάν είναι να τα εξετάσουμε όλα, τότε θα πρέπει να δειχθεί επιπλέον ότι από το σημείο δεν διέρχεται κατακόρυφη εφαπτομένη. (σε αντίστοιχο πρόβλημα)

Ασφαλώς και το εξετάζουμε! Όταν αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τότε αυτομάτως αποκλείουμε την ύπαρξη κατακόρυφης παραγώγου. Δεν χρειάζεται να το αναφέρουμε ξεχωριστά.

Ειλικρινά δεν κατανοώ γιατί πρέπει να κάνουμε τόση συζήτηση για αυτό το θέμα.

Με τις άλλες παρατηρήσεις του Α. Αποστόλου συμφωνώ, όσον αφορά τα προβλήματα διατύπωσης στις εκφωνήσεις.

[Α.Αποστόλου]

Καλημέρα σε όλους.

Στο σχολικό βιβλίο (Γ΄ Λυκείου), στην ενότητα 2.3, η άσκηση Α10 (σελ. 239) αναφέρει:
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της η οποία άγεται από το σημείο .
Η απάντηση είναι ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι και .

Δεν είναι η ίδια περίπτωση, καθώς στην άσκηση του σχολικού προκύπτουν δύο λύσεις κατά την επίλυσης της εξίσωσης.
Εδώ έχουμε δύο διαφορετικές περιπτώσεις που αξιώνουμε να εξετασθούν.

Καλησπέρα. Λυπάμαι, αλλά δεν κάτι δεν καταλαβαίνω.

Νομίζω ότι είναι ακριβώς η ίδια περίπτωση. Αν πάρουμε εξίσωση εφαπτομένης σε τυχαίο σημείο του γραφήματος της συνάρτησης και χρησιμοποίησουμε τη συνθήκη να διέρχεται από το δοθέν σημείο, θα οδηγηθούμε σε εξίσωση με δύο διακριτές ρίζες (η μία διπλή, αφού είναι σημείο επαφής). Τι διαφορά έχει από την άσκηση του σχολικού βιβλίου;

Οι εκφωνήσεις του σχολικού ζητούν είτε την εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης είτε εφαπτόμενες που άγονται από σημείο (το οποίο δεν είναι σημείο επαφής).
Δηλαδή η διαφοροποίηση δεν είναι το διέρχονται (όλες διέρχονται από το σημείο επαφής)
αλλά ότι το δοσμένο σημείο είναι ή δεν είναι σημείο επαφής. Τέτοια άσκηση δεν βλέπω στο βιβλίο.

Η εξίσωση της εφαπτομένης στο φυσικά θα επαληθεύεται από το σημείο επαφής. Ταυτοτικό είναι.

Η λύση είναι όπως την έχει διορθώσει ο nikos_el, μία φορά θα θεωρήσουμε το δοθέν σημείο, σημείο επαφής
και μία ως σημείο από το οποίο διέρχεται η ευθεία αλλά δεν είναι το σημείο επαφής το οποίο και ψάχνουμε.
Αυτή είναι η δεύτερη περίπτωση που λύνεται στην άσκηση 10.

Ασφαλώς και το εξετάζουμε! Όταν αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο τότε αυτομάτως αποκλείουμε την ύπαρξη κατακόρυφης παραγώγου. Δεν χρειάζεται να το αναφέρουμε ξεχωριστά.

Βεβαίως έχετε δίκιο! Μπερδεύτηκα εγώ με την λύση της άσκησης 10 από το λυσάρι.