Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Γιώργος Απόκης · #1

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της $\displaystyle{f(x)=-2x^3}$

η οποία διέρχεται από το σημείο $\displaystyle{A(2,-16)}$

(Γ' Λυκείου - Μέχρι 7/11/16)

nikos_el · #2

H $\displaystyle f$ είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle \mathbb{R}$ με $\displaystyle f'(x)=-6x^{2}$ . Οπότε, $\displaystyle f'(2)=-6\cdot 2^{2}=-24$ . Η εφαπτομένη της $\displaystyle C_{f}$ στο $\displaystyle A(2,-16)$ έχει εξίσωση: $\displaystyle y-f(x_{A})=f'(x)(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-16)=-24(x-2)\Leftrightarrow y=-24x+32$ .

Συμπληρώνω λοιπόν:
Έστω $\displaystyle K(x_{0}, f(x_{0}))$ σημείο της $\displaystyle C_{f}$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της $\displaystyle C_{f}$ στο $\displaystyle K$ να διέρχεται από το σημείο $\displaystyle A(2, -16)$ . Είναι: $\displaystyle f'(x_{0})=-6x_{0}^{2}$ . Η εξίσωση της εφαπτομένης στο $\displaystyle K$ έχει εξίσωση $\displaystyle y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})\Leftrightarrow y+2x_{0}^{3}=-6x_{0}^{2}x+6x_{0}^{3}\Leftrightarrow y=(-6x_{0}^{2})x+4x_{0}^{3}$ . Η εξίσωση αυτής της ευθείας πρέπει να επιβεβαιώνει και τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle A$ . Έτσι, έχουμε: $\displaystyle -16=(-6x_{0}^{2})\cdot 2+4x_{0}^{3}\Leftrightarrow x_{0}^{3}-3x_{0}^{2}+4=0\Leftrightarrow (x_{0}+1)(x_{0}-2)^{2}=0$ $\displaystyle \Leftrightarrow x_{0}=-1 \vee x_{0}=2$ . Η δεύτερη ρίζα είναι η προηγούμενη περίπτωση. Άρα, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση $\displaystyle y=-6x-4$ .

M.S.Vovos · #3

nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=-6x^{2}$ . Οπότε, $f'(2)=-6\cdot 2^{2}=-24$ . Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο έχει εξίσωση: $y-f(x_{A})=f'(x)(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-16)=-24(x-2)\Leftrightarrow y=-24x+32$ .

Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

M.S.Vovos έγραψε:
nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=-6x^{2}$ . Οπότε, $f'(2)=-6\cdot 2^{2}=-24$ . Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο έχει εξίσωση: $y-f(x_{A})=f'(x)(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-16)=-24(x-2)\Leftrightarrow y=-24x+32$ .
Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.

Μάριε για κοίταξε το καλά.

Γιώργος Απόκης · #5

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=-6x^{2}$ . Οπότε, $f'(2)=-6\cdot 2^{2}=-24$ . Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο έχει εξίσωση: $y-f(x_{A})=f'(x)(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-16)=-24(x-2)\Leftrightarrow y=-24x+32$ .
Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.
Μάριε για κοίταξε το καλά.

O Μάριος έχει δίκιο. Έχει μια όμορφη παγίδα η άσκηση...

M.S.Vovos · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=-6x^{2}$ . Οπότε, $f'(2)=-6\cdot 2^{2}=-24$ . Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο έχει εξίσωση: $y-f(x_{A})=f'(x)(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-16)=-24(x-2)\Leftrightarrow y=-24x+32$ .
Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.
Μάριε για κοίταξε το καλά.

Σταύρο καλησπέρα. Η μεθοδολογία που εφαρμόζει ο Νίκος είναι λανθασμένη. Θα έπρεπε να είχε δουλέψει με τυχαίο σημείο κ.τ.λ. Έχω κάνει κάποια πατάτα (;), όχι τίποτε άλλο, αλλά κατέβασα και κάτι ποτηράκια κρασάκι

.

Γιώργος Απόκης · #7

M.S.Vovos έγραψε:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
M.S.Vovos έγραψε:
nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=-6x^{2}$ . Οπότε, $f'(2)=-6\cdot 2^{2}=-24$ . Η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο έχει εξίσωση: $y-f(x_{A})=f'(x)(x-x_{A})\Leftrightarrow y-(-16)=-24(x-2)\Leftrightarrow y=-24x+32$ .
Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.
Μάριε για κοίταξε το καλά.
Σταύρο καλησπέρα. Η μεθοδολογία που εφαρμόζει ο Νίκος είναι λανθασμένη. Θα έπρεπε να είχε δουλέψει με τυχαίο σημείο κ.τ.λ. Έχω κάνει κάποια πατάτα (;), όχι τίποτε άλλο, αλλά κατέβασα και κάτι ποτηράκια κρασάκι .

Kαλησπέρα. Όχι Μάριε, έχεις δίκιο. Ακριβώς για αυτόν το λόγο μπήκε η άσκηση.. υπάρχει και μια "κρυφή" εφαπτομένη!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.
Εχεις $f(x)=-2x^{3}$ και ζητάς εφαπτομένη που περνάει από το (2,-16)

Σου βρίσκει την y=-24x+32

Περνάει από το (2,-16)

;
Είναι εφαπτομένη;
Δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #9

Γιώργο ζητάς εφαπτομένη όχι εφαπτομένες.
Σου την βρίσκει είναι εντάξει.
Αν εσύ η οποιοσδήποτε έχετε αλλά στο μυαλό σας δεν είναι υποχρεωμένος ο λύτης να μπεί μέσα σε αυτό.
(και πως να μπεί)
Στα μαθηματικά απαντάμε σε αυτό που μας ρωτάνε και όχι σε αυτό που εχουν στο μυαλό τους αυτοί που μας ρωτούν.

Γιώργος Απόκης · #10

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.
Εχεις $f(x)=-2x^{3}$ και ζητάς εφαπτομένη που περνάει από το
Σου βρίσκει την
Περνάει από το ;
Είναι εφαπτομένη;
Δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.

Kαλησπέρα Σταύρο. Υπάρχει κι άλλη εφαπτομένη της καμπύλης, σε άλλο σημείο, που περνάει κι αυτή από το δοσμένο σημείο

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #11

Πάλι δεν καταλαβαίνω Γιώργο.
Και αν περνάνε πολλές τι νοιάζει τον λύτη.
Ζητάς εξίσωση εφαπτομένης.
Επειδή δεν έχει νόημα αυτή η συζήτηση η προσωπική μου άποψη είναι
ότι η λύση που έδωσε ο μαθητής στο πρόβλημα όπως διατυπώθηκε είναι σωστότατη.

Γιώργος Απόκης · #12

Καλημέρα Σταύρο. Κατά την άποψή μου, όταν ζητείται εξίσωση ευθείας που ικανοποιεί κάποιες συνθήκες, πρέπει να τις βρίσκουμε όλες.

Και πάλι, αυτή είναι η άποψή μου. Ο Νίκος βρήκε μία από αυτές (υπάρχει άλλη μία).

Είναι σαν να ζητείται η τιμή του $\displaystyle{x}$ που επαληθεύει την εξίσωση $\displaystyle{x^3-7x+6=0}$ και να απαντήσουμε

ότι $\displaystyle{x=1}$ (ενώ υπάρχουν άλλες δύο λύσεις : $\displaystyle{x=2,~x=-3}$ ).

Ας δούμε κι άλλες γνώμες

Ratio · #13

Είναι πολύ λογικό ο λύτης να σταθεί μόνο στην μία εφαπτομένη, καθώς η παγίδα της άσκησης βρίσκεται στο δεδομένο ότι το σημείο είναι σημείο της γραφικής παράστασης.

Και θα συμφωνήσω απόλυτα με τον κύριο Παπαδόπουλο σε αυτό.
Κανονικά θα έπρεπε να ερωτηθεί ο λύτης αν διέρχεται και άλλη εφαπτομένης της γραφικής παράστασης από το δεδομένο σήμείο ή να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που διέρχονται από το σημείο

#14

Γιώργος Απόκης έγραψε: Ας δούμε κι άλλες γνώμες.

Καλημέρα σε όλους.

Στο σχολικό βιβλίο (Γ΄ Λυκείου), στην ενότητα 2.3, η άσκηση Α10 (σελ. 239) αναφέρει:

Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f(x)=x^2

η οποία άγεται από το σημείο A(0, -1)

.

Η απάντηση είναι ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι y = 2x – 1

και

.

Επίσης στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, σελ. 76 η Γενική 1 ζητά:

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο M(1,0)

και τέμνει τις ευθείες y=x+2

και

στα σημεία A,B

αντιστοίχως, έτσι, ώστε (AB)= 2

H απάντηση είναι: x = 1

ή

.

Δίχως να υπονοώ ότι αποδέχομαι άκριτα ως ευαγγέλιο κάθε φράση των σχολικών βιβλίων, πιστεύω ότι με αυτό το πνεύμα ο Γιώργος έθεσε το ερώτημα.

Πάντως, λίγο παραπάνω, σε παρόμοιες ασκήσεις (Β3, Β4, Β8) ζητά να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών, οπότε θεωρώ ότι δεν υπάρχει ενιαία αντίληψη για τη διατύπωση σχετικών ερωτημάτων.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Γιώργο ζητάς εφαπτομένη όχι εφαπτομένες.
Σου την βρίσκει είναι εντάξει.
Αν εσύ η οποιοσδήποτε έχετε αλλά στο μυαλό σας δεν είναι υποχρεωμένος ο λύτης να μπεί μέσα σε αυτό.
(και πως να μπεί)
Στα μαθηματικά απαντάμε σε αυτό που μας ρωτάνε και όχι σε αυτό που εχουν στο μυαλό τους αυτοί που μας ρωτούν.

Νομίζω ότι είναι διαφορετική η ερώτηση της μορφής: "Βρείτε εφαπτομένη..." σε σχέση με την ερώτηση "Βρείτε την εφαπτομένη".

Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να βρω μια εφαπτομένη, ενώ με τη διατύπωση όπως η αρχική του Γιώργου, πρέπει να αναζητήσουμε όλες τις περιπτώσεις.

#15

Καλημέρα σε όλους!

Αντιγράφω την άσκηση-1 από τις Γενικές του 2ου κεφαλαίου των Μαθηματικών Προσανατολισμού Β' Λυκείου.

Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και τέμνει τις ευθείες και

στα σημεία και αντιστοίχως, έτσι ώστε

: Διχογνωμία.png (8.18 KiB) Προβλήθηκε 3090 φορές

Ένας μαθητής γράφει. "Η ευθεία y=x

τέμνει τον x'x

στο σημείο $\displaystyle{A \equiv O(0,0)}$ και η y=x+2

στο σημείο B(-2,0)

,

οπότε (AB)=2

. Άρα η ευθεία $\boxed{y=0}$ , είναι η ζητούμενη εφόσον καλύπτει όλες τις υποθέσεις της εκφώνησης".

Κατά τη γνώμη σας, ο μαθητής έχει απαντήσει πλήρως;

Έπεσα πάνω στο ίδιο παράδειγμα με τον Γιώργο Ρίζο

Γιώργος Απόκης · #16

Γιώργο και Γιώργο, καλησπέρα! Ευχαριστώ για την ενασχόληση και για τα παραδείγματα.

Συμφωνώ με το Γιώργο Ρίζο στο ότι, όταν ζητείται η ευθεία, ή η τιμή της παραμέτρου ή η λύση της εξίσωσης κλπ,

πρέπει να βρίσκουμε κάθε ευθεία, τιμή, λύση κλπ

#17

Γιώργος Απόκης έγραψε:Γιώργο και Γιώργο, καλησπέρα! Ευχαριστώ για την ενασχόληση και για τα παραδείγματα.

Συμφωνώ με το Γιώργο Ρίζο στο ότι, όταν ζητείται η ευθεία, ή η τιμή της παραμέτρου ή η λύση της εξίσωσης κλπ,

πρέπει να βρίσκουμε κάθε ευθεία, τιμή, λύση κλπ

Θα συμφωνήσω κι εγώ με τους συνονόματους, γι' αυτό άλλωστε έδωσα και το παραπάνω παράδειγμα. Πιστεύω ότι

ο λύτης πρέπει να εξετάζει όλες τις δυνατές περιπτώσεις και ο θεματοδότης δεν είναι υποχρεωμένος να τον καθοδηγεί.

Όπως μία κλασική άσκηση που μου έρχεται στο νου:

Αν είναι το ορθόκεντρο τριγώνου και , να βρεθεί το μέτρο της γωνίας $\widehat{A}.$

Πολύ εύκολα μπορεί κανείς να παρασυρθεί εδώ και να απαντήσει $\widehat{A}=45^0$ , αλλά υπάρχει και άλλη μία λύση $\widehat{A}=135^0$ .

Ο θεματοδότης δεν είναι υποχρεωμένος να πει στην εκφώνηση ότι πρέπει να εξεταστούν δύο περιπτώσεις α) για οξυγώνιο

και β) για αμβλυγώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι ξεκάθαρα θέμα του λύτη.

Γιώργος Απόκης · #18

Δίνω το σχήμα, όπου φαίνονται οι δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το $\displaystyle{A(2,-16)}$

: two.png (9.13 KiB) Προβλήθηκε 2992 φορές

Γιώργος Απόκης · #19

nikos_el έγραψε:
... Η εξίσωση αυτής της ευθείας πρέπει να επιβεβαιώνει και τις συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle A$ . Έτσι, έχουμε: $\displaystyle -16=(-6x_{0}^{2})\cdot 2+4\cdot \color{red}2\color{black}^{3}$ ...

Καλημέρα Νίκο. Σωστός είναι φυσικά ο τρόπος, έχεις αντικαταστήσει από λάθος το $\displaystyle{x_0}$ με $\displaystyle{2}$ (δες το κόκκινο)

Γιώργος Απόκης · #20

Ουσιαστικά η ίδια άσκηση εδώ και διαφορετική διατύπωση εδώ

Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο

Μέλη σε σύνδεση