Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Συντονιστής: polysot
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της
η οποία διέρχεται από το σημείο
(Γ' Λυκείου - Μέχρι 7/11/16)
η οποία διέρχεται από το σημείο
(Γ' Λυκείου - Μέχρι 7/11/16)
Γιώργος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
H είναι παραγωγίσιμη στο με . Οπότε, . Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση: .
Συμπληρώνω λοιπόν:
Έστω σημείο της τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της στο να διέρχεται από το σημείο . Είναι: . Η εξίσωση της εφαπτομένης στο έχει εξίσωση . Η εξίσωση αυτής της ευθείας πρέπει να επιβεβαιώνει και τις συντεταγμένες του σημείου . Έτσι, έχουμε: . Η δεύτερη ρίζα είναι η προηγούμενη περίπτωση. Άρα, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση .
Συμπληρώνω λοιπόν:
Έστω σημείο της τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της στο να διέρχεται από το σημείο . Είναι: . Η εξίσωση της εφαπτομένης στο έχει εξίσωση . Η εξίσωση αυτής της ευθείας πρέπει να επιβεβαιώνει και τις συντεταγμένες του σημείου . Έτσι, έχουμε: . Η δεύτερη ρίζα είναι η προηγούμενη περίπτωση. Άρα, η ζητούμενη ευθεία έχει εξίσωση .
τελευταία επεξεργασία από nikos_el σε Τρί Νοέμ 08, 2016 11:05 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
The road to success is always under construction
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο με . Οπότε, . Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση: .
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Μάριε για κοίταξε το καλά.M.S.Vovos έγραψε:Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο με . Οπότε, . Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση: .
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
O Μάριος έχει δίκιο. Έχει μια όμορφη παγίδα η άσκηση...ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Μάριε για κοίταξε το καλά.M.S.Vovos έγραψε:Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο με . Οπότε, . Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση: .
Γιώργος
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Σταύρο καλησπέρα. Η μεθοδολογία που εφαρμόζει ο Νίκος είναι λανθασμένη. Θα έπρεπε να είχε δουλέψει με τυχαίο σημείο κ.τ.λ. Έχω κάνει κάποια πατάτα (;), όχι τίποτε άλλο, αλλά κατέβασα και κάτι ποτηράκια κρασάκι .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Μάριε για κοίταξε το καλά.M.S.Vovos έγραψε:Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο με . Οπότε, . Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση: .
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Kαλησπέρα. Όχι Μάριε, έχεις δίκιο. Ακριβώς για αυτόν το λόγο μπήκε η άσκηση.. υπάρχει και μια "κρυφή" εφαπτομένη!M.S.Vovos έγραψε:Σταύρο καλησπέρα. Η μεθοδολογία που εφαρμόζει ο Νίκος είναι λανθασμένη. Θα έπρεπε να είχε δουλέψει με τυχαίο σημείο κ.τ.λ. Έχω κάνει κάποια πατάτα (;), όχι τίποτε άλλο, αλλά κατέβασα και κάτι ποτηράκια κρασάκι .ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Μάριε για κοίταξε το καλά.M.S.Vovos έγραψε:Νίκο, για ξαναδές το. Το βασικό είναι να διαβάζουμε καλά τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης. Ζητάει την εφαπτομένη που διέρχεται από σημείο. Εσύ βρήκες την εφαπτομένη στο σημείο.nikos_el έγραψε:H είναι παραγωγίσιμη στο με . Οπότε, . Η εφαπτομένη της στο έχει εξίσωση: .
Γιώργος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.
Εχεις και ζητάς εφαπτομένη που περνάει από το
Σου βρίσκει την
Περνάει από το ;
Είναι εφαπτομένη;
Δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.
Εχεις και ζητάς εφαπτομένη που περνάει από το
Σου βρίσκει την
Περνάει από το ;
Είναι εφαπτομένη;
Δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Γιώργο ζητάς εφαπτομένη όχι εφαπτομένες.
Σου την βρίσκει είναι εντάξει.
Αν εσύ η οποιοσδήποτε έχετε αλλά στο μυαλό σας δεν είναι υποχρεωμένος ο λύτης να μπεί μέσα σε αυτό.
(και πως να μπεί)
Στα μαθηματικά απαντάμε σε αυτό που μας ρωτάνε και όχι σε αυτό που εχουν στο μυαλό τους αυτοί που μας ρωτούν.
Σου την βρίσκει είναι εντάξει.
Αν εσύ η οποιοσδήποτε έχετε αλλά στο μυαλό σας δεν είναι υποχρεωμένος ο λύτης να μπεί μέσα σε αυτό.
(και πως να μπεί)
Στα μαθηματικά απαντάμε σε αυτό που μας ρωτάνε και όχι σε αυτό που εχουν στο μυαλό τους αυτοί που μας ρωτούν.
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Kαλησπέρα Σταύρο. Υπάρχει κι άλλη εφαπτομένη της καμπύλης, σε άλλο σημείο, που περνάει κι αυτή από το δοσμένο σημείοΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Ειλικρινά δεν καταλαβαίνω.
Εχεις και ζητάς εφαπτομένη που περνάει από το
Σου βρίσκει την
Περνάει από το ;
Είναι εφαπτομένη;
Δεν καταλαβαίνω που είναι το πρόβλημα.
Γιώργος
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Πάλι δεν καταλαβαίνω Γιώργο.
Και αν περνάνε πολλές τι νοιάζει τον λύτη.
Ζητάς εξίσωση εφαπτομένης.
Επειδή δεν έχει νόημα αυτή η συζήτηση η προσωπική μου άποψη είναι
ότι η λύση που έδωσε ο μαθητής στο πρόβλημα όπως διατυπώθηκε είναι σωστότατη.
Και αν περνάνε πολλές τι νοιάζει τον λύτη.
Ζητάς εξίσωση εφαπτομένης.
Επειδή δεν έχει νόημα αυτή η συζήτηση η προσωπική μου άποψη είναι
ότι η λύση που έδωσε ο μαθητής στο πρόβλημα όπως διατυπώθηκε είναι σωστότατη.
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Καλημέρα Σταύρο. Κατά την άποψή μου, όταν ζητείται εξίσωση ευθείας που ικανοποιεί κάποιες συνθήκες, πρέπει να τις βρίσκουμε όλες.
Και πάλι, αυτή είναι η άποψή μου. Ο Νίκος βρήκε μία από αυτές (υπάρχει άλλη μία).
Είναι σαν να ζητείται η τιμή του που επαληθεύει την εξίσωση και να απαντήσουμε
ότι (ενώ υπάρχουν άλλες δύο λύσεις : ).
Ας δούμε κι άλλες γνώμες
Και πάλι, αυτή είναι η άποψή μου. Ο Νίκος βρήκε μία από αυτές (υπάρχει άλλη μία).
Είναι σαν να ζητείται η τιμή του που επαληθεύει την εξίσωση και να απαντήσουμε
ότι (ενώ υπάρχουν άλλες δύο λύσεις : ).
Ας δούμε κι άλλες γνώμες
Γιώργος
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Είναι πολύ λογικό ο λύτης να σταθεί μόνο στην μία εφαπτομένη, καθώς η παγίδα της άσκησης βρίσκεται στο δεδομένο ότι το σημείο είναι σημείο της γραφικής παράστασης.
Και θα συμφωνήσω απόλυτα με τον κύριο Παπαδόπουλο σε αυτό.
Κανονικά θα έπρεπε να ερωτηθεί ο λύτης αν διέρχεται και άλλη εφαπτομένης της γραφικής παράστασης από το δεδομένο σήμείο ή να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που διέρχονται από το σημείο
Και θα συμφωνήσω απόλυτα με τον κύριο Παπαδόπουλο σε αυτό.
Κανονικά θα έπρεπε να ερωτηθεί ο λύτης αν διέρχεται και άλλη εφαπτομένης της γραφικής παράστασης από το δεδομένο σήμείο ή να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων που διέρχονται από το σημείο
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5284
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Καλημέρα σε όλους.Γιώργος Απόκης έγραψε: Ας δούμε κι άλλες γνώμες.
Στο σχολικό βιβλίο (Γ΄ Λυκείου), στην ενότητα 2.3, η άσκηση Α10 (σελ. 239) αναφέρει:
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της η οποία άγεται από το σημείο .
Η απάντηση είναι ότι οι ζητούμενες ευθείες είναι οι και .
Επίσης στα Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, σελ. 76 η Γενική 1 ζητά:
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο και τέμνει τις ευθείες και στα σημεία αντιστοίχως, έτσι, ώστε
H απάντηση είναι: ή .
Δίχως να υπονοώ ότι αποδέχομαι άκριτα ως ευαγγέλιο κάθε φράση των σχολικών βιβλίων, πιστεύω ότι με αυτό το πνεύμα ο Γιώργος έθεσε το ερώτημα.
Πάντως, λίγο παραπάνω, σε παρόμοιες ασκήσεις (Β3, Β4, Β8) ζητά να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών, οπότε θεωρώ ότι δεν υπάρχει ενιαία αντίληψη για τη διατύπωση σχετικών ερωτημάτων.
Νομίζω ότι είναι διαφορετική η ερώτηση της μορφής: "Βρείτε εφαπτομένη..." σε σχέση με την ερώτηση "Βρείτε την εφαπτομένη".ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:Γιώργο ζητάς εφαπτομένη όχι εφαπτομένες.
Σου την βρίσκει είναι εντάξει.
Αν εσύ η οποιοσδήποτε έχετε αλλά στο μυαλό σας δεν είναι υποχρεωμένος ο λύτης να μπεί μέσα σε αυτό.
(και πως να μπεί)
Στα μαθηματικά απαντάμε σε αυτό που μας ρωτάνε και όχι σε αυτό που εχουν στο μυαλό τους αυτοί που μας ρωτούν.
Στην πρώτη περίπτωση αρκεί να βρω μια εφαπτομένη, ενώ με τη διατύπωση όπως η αρχική του Γιώργου, πρέπει να αναζητήσουμε όλες τις περιπτώσεις.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Καλημέρα σε όλους!
Αντιγράφω την άσκηση-1 από τις Γενικές του 2ου κεφαλαίου των Μαθηματικών Προσανατολισμού Β' Λυκείου.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και τέμνει τις ευθείες και
στα σημεία και αντιστοίχως, έτσι ώστε
Ένας μαθητής γράφει. "Η ευθεία τέμνει τον στο σημείο και η στο σημείο ,
οπότε . Άρα η ευθεία , είναι η ζητούμενη εφόσον καλύπτει όλες τις υποθέσεις της εκφώνησης".
Κατά τη γνώμη σας, ο μαθητής έχει απαντήσει πλήρως;
Έπεσα πάνω στο ίδιο παράδειγμα με τον Γιώργο Ρίζο
Αντιγράφω την άσκηση-1 από τις Γενικές του 2ου κεφαλαίου των Μαθηματικών Προσανατολισμού Β' Λυκείου.
Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο και τέμνει τις ευθείες και
στα σημεία και αντιστοίχως, έτσι ώστε
Ένας μαθητής γράφει. "Η ευθεία τέμνει τον στο σημείο και η στο σημείο ,
οπότε . Άρα η ευθεία , είναι η ζητούμενη εφόσον καλύπτει όλες τις υποθέσεις της εκφώνησης".
Κατά τη γνώμη σας, ο μαθητής έχει απαντήσει πλήρως;
Έπεσα πάνω στο ίδιο παράδειγμα με τον Γιώργο Ρίζο
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Γιώργο και Γιώργο, καλησπέρα! Ευχαριστώ για την ενασχόληση και για τα παραδείγματα.
Συμφωνώ με το Γιώργο Ρίζο στο ότι, όταν ζητείται η ευθεία, ή η τιμή της παραμέτρου ή η λύση της εξίσωσης κλπ,
πρέπει να βρίσκουμε κάθε ευθεία, τιμή, λύση κλπ
Συμφωνώ με το Γιώργο Ρίζο στο ότι, όταν ζητείται η ευθεία, ή η τιμή της παραμέτρου ή η λύση της εξίσωσης κλπ,
πρέπει να βρίσκουμε κάθε ευθεία, τιμή, λύση κλπ
Γιώργος
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13275
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Θα συμφωνήσω κι εγώ με τους συνονόματους, γι' αυτό άλλωστε έδωσα και το παραπάνω παράδειγμα. Πιστεύω ότιΓιώργος Απόκης έγραψε:Γιώργο και Γιώργο, καλησπέρα! Ευχαριστώ για την ενασχόληση και για τα παραδείγματα.
Συμφωνώ με το Γιώργο Ρίζο στο ότι, όταν ζητείται η ευθεία, ή η τιμή της παραμέτρου ή η λύση της εξίσωσης κλπ,
πρέπει να βρίσκουμε κάθε ευθεία, τιμή, λύση κλπ
ο λύτης πρέπει να εξετάζει όλες τις δυνατές περιπτώσεις και ο θεματοδότης δεν είναι υποχρεωμένος να τον καθοδηγεί.
Όπως μία κλασική άσκηση που μου έρχεται στο νου:
Αν είναι το ορθόκεντρο τριγώνου και , να βρεθεί το μέτρο της γωνίας
Πολύ εύκολα μπορεί κανείς να παρασυρθεί εδώ και να απαντήσει , αλλά υπάρχει και άλλη μία λύση .
Ο θεματοδότης δεν είναι υποχρεωμένος να πει στην εκφώνηση ότι πρέπει να εξεταστούν δύο περιπτώσεις α) για οξυγώνιο
και β) για αμβλυγώνιο τρίγωνο. Αυτό είναι ξεκάθαρα θέμα του λύτη.
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Δίνω το σχήμα, όπου φαίνονται οι δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Εφαπτομένη από γνωστό σημείο
Καλημέρα Νίκο. Σωστός είναι φυσικά ο τρόπος, έχεις αντικαταστήσει από λάθος το με (δες το κόκκινο)nikos_el έγραψε:
... Η εξίσωση αυτής της ευθείας πρέπει να επιβεβαιώνει και τις συντεταγμένες του σημείου . Έτσι, έχουμε: ...
Γιώργος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες