Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων
Συντονιστής: polysot
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων
Να βρεθούν δύο μη μηδενικοί πραγματικοί με άθροισμα κύβων ίσο με
και άθροισμα αντιστρόφων ίσο με .
(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 11/12/16)
και άθροισμα αντιστρόφων ίσο με .
(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 11/12/16)
Γιώργος
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων
Ονομάζω τους αριθμούς που ζητάμε.Γιώργος Απόκης έγραψε:Να βρεθούν δύο μη μηδενικοί πραγματικοί με άθροισμα κύβων ίσο με
και άθροισμα αντιστρόφων ίσο με .
(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 11/12/16)
Τότε και .
Ονομάζω το άρα και έχω την εξίσωση που έχει λύσεις τις .
Για είναι και προκύπτει η εξίσωση που δεν έχει λύσεις.
Για είναι και δηλαδή είναι οι λύσεις της εξίσωσης που είναι οι αριθμοί και .
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Άθροισμα κύβων και αντιστρόφων
Πρέπει να λύσουμε ουσιαστικά το σύστημα :
(1) και (2)
Το οποίο είναι συμμετρικό ως προς x και y και είναι προφανές πως χ και y είναι ετερόσημοι. Άρα μπορούμε να υποθέσουμε πως .
Τώρα από τη (2) έχουμε πως: . Άρα αντικαταστώντας στην (1) έχουμε :
Άρα
Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι και και το συμμετρικό
και
(1) και (2)
Το οποίο είναι συμμετρικό ως προς x και y και είναι προφανές πως χ και y είναι ετερόσημοι. Άρα μπορούμε να υποθέσουμε πως .
Τώρα από τη (2) έχουμε πως: . Άρα αντικαταστώντας στην (1) έχουμε :
Άρα
Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι και και το συμμετρικό
και
Ανδρέας Χαραλαμπόπουλος
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες