Διχοτόμος ορθής και σχέση εμβαδών

Γιώργος Μήτσιος · #1

Καλή Κυριακή σε όλους.
Μια δημιουργία , με αφορμή άσκηση σχολικού Β' Λυκείου ( Ο.Π. στην εξίσωση ευθείας ).. ελπίζω διδακτική για τους μαθητές.

: 5-2-17 Διχοτόμος ορθής...PNG (8.14 KiB) Προβλήθηκε 982 φορές

Στο σχήμα έχουμε $\widehat{AOB}$ ορθή , OA=OB

και σημεία M ,N

στις πλευρές OA , OB

αντίστοιχα έτσι ώστε

το τετράγωνο με πλευρά

να έχει εμβαδόν τετραπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου MON

. Αν

η τομή των AN, BM

τότε

1) Να δειχθεί ότι η

είναι διχοτόμος της $\widehat{AOB}$

Αν , επιπλέον , το τετράγωνο πλευράς

έχει εμβαδόν οκταπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου ANO

τότε

2) Βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων MON

και

Φιλικά Γιώργος

Γιώργος Μήτσιος · #2

Καλημέρα σε όλους . Ζητώ συγνώμη , παρέλειψα να θέσω χρονικό όριο ..
Τώρα πλέον , τίθεται στη διάθεση όλων ...
Ευκλείδεια Γεωμετρία Β' Λυκείου.

Ευχαριστώ , Γιώργος .

nikkru · #3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:Καλή Κυριακή σε όλους.
Μια δημιουργία , με αφορμή άσκηση σχολικού Β' Λυκείου ( Ο.Π. στην εξίσωση ευθείας ).. ελπίζω διδακτική για τους μαθητές.
5-2-17 Διχοτόμος ορθής...PNG
Στο σχήμα έχουμε $\widehat{AOB}$ ορθή , και σημεία στις πλευρές αντίστοιχα έτσι ώστε

το τετράγωνο με πλευρά να έχει εμβαδόν τετραπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου . Αν η τομή των τότε

1) Να δειχθεί ότι η είναι διχοτόμος της $\widehat{AOB}$

Αν , επιπλέον , το τετράγωνο πλευράς έχει εμβαδόν οκταπλάσιο από το εμβαδόν του τριγώνου τότε

2) Βρείτε το λόγο των εμβαδών των τριγώνων και

Φιλικά Γιώργος

Καλημέρα,

Για το 1)

Από τα δεδομένα έχουμε:

$MN^2=4(OMN)\Leftrightarrow OM^2+ON^2=4\frac{1}{2}OM\cdot ON\Leftrightarrow (OM-ON)^2$ $=0\Leftrightarrow OM=ON\,\,(1)$

Τότε έχουμε διαδοχικά τις ισότητες $\triangle OAN=\triangle OBM,\triangle AME=\triangle BNE,\triangle OME=\triangle ONE$

με συνέπεια η

να διχοτομεί την γωνία $\widehat{AOB}$ .

Για το 2)

: Διχοτόμος ορθής.png (7.49 KiB) Προβλήθηκε 891 φορές

Αφού $NA^2=8\frac{1}{2}OA\cdot ON\Leftrightarrow \frac{OA}{NA}=\frac{NA}{4ON}\Leftrightarrow$ $\displaystyle{\sigma \upsilon \nu A=\frac{1}{4\eta \mu A}\Leftrightarrow 2\eta \mu A\sigma \upsilon \nu A=\frac{1}{2}}\Leftrightarrow\eta \mu 2A=\frac{1}{2}$ είναι A=15^o

.

Παραπάνω δείξαμε ότι το τρίγωνο ONM

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές με την , οπότε N_1=45^o , N_2=30^o

.

Εξάλλου, η

διχοτομεί την γωνία

, οπότε $OE \perp NM$ και OK=KN=KM

.

Τέλος, τα τρίγωνα MON,MEN

έχουν κοινή βάση την

και αφού $OE\perp NM$ άρα $\displaystyle{\frac{(MON)}{(MEN)}=\frac{KO}{KE}=\frac{NK}{KE}=\sigma \varphi N_2=\sqrt{3}}$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Γεια σας. Να ευχαριστήσω τον αγαπητό nikkru (και να υποθέσω ..

.. ότι το μικρό όνομα είναι Νίκος ; .) για την περιεκτική-πλήρη απάντηση !
Μια παραλλαγή , μόνο για το β' ζητούμενο : Αν

το ύψος προς την

στο τρίγωνο ANO

τότε εύκολα προκύπτει h=AN/4

οπότε ( άσκηση και του σχολικού ) $\widehat{A}=15^{0}$ και $\widehat{ANO}=75^{0}$

Έτσι το τρίγωνο NOE

έχει $\widehat{NOE}=45^{0}..\widehat{NEO}=60^{0}$

και από Ν.Ημιτόνων $\dfrac{ON}{NE}=\dfrac{\eta \mu 60^{0}}{\eta \mu 45^{0} }\Rightarrow \dfrac{ON^{2}}{NE^{2}}=\dfrac{3}{2}$ και τελικά $\dfrac{\left ( MON \right )}{\left ( MEN \right )}=\dfrac{ON^{2}/2}{\eta \mu 120^{0}\cdot NE^{2}/2}=..=\sqrt{3}$ .

Φιλικά , Γιώργος.

Διχοτόμος ορθής και σχέση εμβαδών

Διχοτόμος ορθής και σχέση εμβαδών

Re: Διχοτόμος ορθής και σχέση εμβαδών

Re: Διχοτόμος ορθής και σχέση εμβαδών

Re: Διχοτόμος ορθής και σχέση εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση