Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Σ' αυτόν τόν φάκελο καταχωρούνται, γιά περιορισμένο χρονικό διάστημα, ασκήσεις πού προτείνονται από οποιοδήποτε μέλος, αλλά η επίλυσή τους αφήνεται ΜΟΝΟ στούς μαθητές.

Συντονιστής: polysot

Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5027
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από Γιώργος Απόκης » Τετ Φεβ 15, 2017 10:15 am

Δίνεται τρίγωνο \displaystyle{ABC} με \displaystyle{AB=13,BC=15,AC=14}

α) Να βρείτε το μήκος του ύψους \displaystyle{AD}

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου


(Γ' Γυμνασίου - Μέχρι 19/2/17)


Γιώργος

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5027
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Γιώργος Απόκης » Κυρ Μαρ 05, 2017 1:58 pm

Επαναφέρω για τους μαθητές, με μια μικρή υπόδειξη

Πυθαγόρειο στα δύο ορθογώνια τρίγωνα
Συνημμένα
13-14-15.jpg
13-14-15.jpg (9.87 KiB) Προβλήθηκε 369 φορές


Γιώργος
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 592
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από Γιώργος Μήτσιος » Τρί Μαρ 21, 2017 12:19 am

Καλημέρα ! Ας δώσω Γιώργο σύντομη απάντηση ..λόγω της επιθυμίας μου να ήμουν (και ηλικιακά ) μαθητής..
θέτοντας -με την ευκαιρία- και ένα ζητούμενο στο τέλος.

Με χρήση του Πυθαγορείου στα δύο ορθ. τρίγωνα παίρνουμε τις εξισώσεις : (\left 15-x \right )^{2}+h^{2}=14^{2} και x^{2}+h^{2}=13^{2}.
Αφαιρώντας τες κατά μέλη και με χρήση της ταυτότητας (a^{2}-b^{2})=(\left a-b \right )\left ( a+b \right )

προκύπτει \left ( 15-2x \right )\cdot 15 =27\Leftrightarrow ..x=6,6 και h=11,2.

Συνεπώς \left ( ABC \right )=\dfrac{1}{2}\cdot 15\cdot 11.2=84

Και το νέο ζητούμενο : Να βρεθούν διψήφιοι αριθμοί που να αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα και όταν ενωθούν
(όχι ,κατ' ανάγκην , σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά ) σε ένα εξαψήφιο , αυτός να είναι καρκινικός (παλινδρομικός ) αριθμός

όπως λ.χ 524425, μόνο που οι 52,44,25 αποτελούν μη Πυθαγόρεια τριάδα..


Φιλικά , Γιώργος .


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5027
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Γιώργος Απόκης » Τρί Μαρ 21, 2017 9:43 am

Καλημέρα Γιώργο, ευχαριστώ για την ενασχόληση!


Γιώργος
Άβαταρ μέλους
Christos.N
Δημοσιεύσεις: 1453
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
Τοποθεσία: Ίλιον

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από Christos.N » Τρί Μαρ 21, 2017 8:41 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Και το νέο ζητούμενο : Να βρεθούν διψήφιοι αριθμοί που να αποτελούν Πυθαγόρεια τριάδα και όταν ενωθούν
(όχι ,κατ' ανάγκην , σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά ) σε ένα εξαψήφιο , αυτός να είναι καρκινικός (παλινδρομικός ) αριθμός

όπως λ.χ 524425, μόνο που οι 52,44,25 αποτελούν μη Πυθαγόρεια τριάδα..


Φιλικά , Γιώργος .


ο 653356 τα έχει όλα και συμφέρει!


Ντάβας Χρήστος
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9242
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #6 από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 21, 2017 10:42 pm

Christos.N έγραψε:ο 653356 τα έχει όλα και συμφέρει!


Αυτόν βρήκα και εγώ, ως την μοναδική λύση εκτός από αναδιάταξη (*) της μορφής abccba με cc μία από τις καθέτους. (Δεν κοίταξα την περίπτωση όπου cc η υποτείνουσα).

(*) Εννοώ την δίδυμή της λύση 563365


Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 9242
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #7 από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 21, 2017 11:34 pm

Αξίζει να γράψω μερικά σχόλια, ιδίως ιστορικά.

Γενικεύοντας την λύση του φίλου Γιώργου Μήτσιου παραπάνω, έχουμε απόδειξη του λεγόμενου τύπου του Ήρωνα, E = \sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c) } , όπου s= (a+b+c)/2. Η απόδειξη υπάρχει στο Σχολικό βιβλίο.

Υπάρχουν πολλές απόδείξεις του τύπου του Ήρωνα. Για παράδειγμα στο

http://johnng.inscyber.net/proof-withou ... -heron.pdf

υπάρχουν παραπομπές (σελίς 292) για 10 αποδείξεις, αλλά στο αρχείο μου έχω πολλές άλλες.

Ο τύπος του Ήρωνα δεν υπάρχει στα Στοιχεία του Ευκλείδη, αλλά πρωτοεμφανίζεται στα Μετρικά του Ήρωνα. Η απόδειξη είναι τελείως διαφορετική από τις παραπάνω. Για αγγλική μετάφραση (δεν βρίσκω ελληνική διαδυκτιακή παραπομπή :oops: ) βλέπε

http://galileoandeinstein.physics.virgi ... Heron.html

Κατά τους Άραβες Μεσαιωνικούς σχολιαστές ο τύπος του Ήρωνα οφείλεται στον Αρχιμήδη, αλλά δεν σώζεται ελληνικό κείμενο με την ίδια αναφορά. Ενστερνίζομαι την ίδια γνώμη αλλά δεν είναι επί του προκειμένου να δώσω επιχειρήματα.

Μια άλλη ωραία απόδειξη του τύπου του Ήρωνα οφείλεται στον Euler το 1748. Βλέπε στο

http://galileoandeinstein.physics.virgi ... Heron.html

(σελίδες 5-7) αλλά καλύτερα αναζητείστε από τις παραπομπές το πρωτότυπο κείμενο του Euler. Ναι, θα χρειαστεί να φρεσκάρετε τα Λατινικά σας, αλλά αξίζει τον κόπο.


Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 592
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #8 από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Μαρ 22, 2017 1:23 pm

Γεια σας ! Χρήστο σ' ευχαριστώ για την κομψή απάντηση. Να ευχαριστήσουμε βεβαίως τον κ. Μιχάλη Λάμπρου και για τον εμπλουτισμό (!) του θέματος .

Ενα ευχαριστώ και στον θεματοθέτη Γιώργο για την προβολή του αξιόλογου ..τριγώνου ABC ,του οποίου :
Οι πλευρές είναι διαδοχικοί ακέραιοι , το εμβαδόν του και η ακτίνα του έγκυκλου επίσης ακέραιοι και όχι μόνο..
Το ύψος AD μας δίνει αφενός το ορθ. τρίγωνο DAC ,όμοιο με αυτό της πλέον γνωστής Πυθαγόρειας τριάδας (Π.Τ) 3,4,5
και αφετέρου το ορθ. BAD , στο οποίο πολ/ντας τα μήκη με το 5 προκύπτει η Π.Τ 33,56,65.

Ίσως είναι η μόνη (;) Πυθαγόρεια τριάδα διψήφιων που παράγει τους δίδυμους παλινδρομικούς 653356..563365 που είδαμε !

Φιλικά Γιώργος


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Απόκης
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 5027
Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
Τοποθεσία: Πάτρα
Επικοινωνία:

Re: Εμβαδόν τριγώνου από μήκη πλευρών

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #9 από Γιώργος Απόκης » Τετ Μαρ 22, 2017 1:42 pm

Σας ευχαριστώ κι εγώ με τη σειρά μου για τις ιδέες και τις παραπομπές!


Γιώργος

Επιστροφή σε “Ασκήσεις ΜΟΝΟ για μαθητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες