Δύο συναρτήσεις - εκθετικές εξισώσεις

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους $\displaystyle{f(x)=e^x+\frac{1}{\sqrt{e^x}}}$ και $\displaystyle{g(x)=e^x-\frac{1}{2\sqrt{e^x}}}$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης

β) Να βρείτε τις ρίζες της $\displaystyle{g}$ καθώς και το πρόσημό της

γ) Αν $\displaystyle{a}$ είναι ρίζα της $\displaystyle{g}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(a)<2}$

δ) Nα λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(x)=2}$

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 6/4/2017)

Γιώργος Απόκης · #2

Aφού πέρασε καιρός, επαναφέρω για όλους

Σταμ. Γλάρος · #3

Γιώργος Απόκης έγραψε:Aφού πέρασε καιρός, επαναφέρω για όλους

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνονται οι συναρτήσεις με τύπους $\displaystyle{f(x)=e^x+\frac{1}{\sqrt{e^x}}}$ και $\displaystyle{g(x)=e^x-\frac{1}{2\sqrt{e^x}}}$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης

β) Να βρείτε τις ρίζες της $\displaystyle{g}$ καθώς και το πρόσημό της

γ) Αν $\displaystyle{a}$ είναι ρίζα της $\displaystyle{g}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{f(a)<2}$

δ) Nα λύσετε την εξίσωση $\displaystyle{f(x)=2}$

(Άλγεβρα Β' - Μέχρι 6/4/2017)

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια...
α) Είναι $D_{f}=D_{g}=\mathbb{R}$ .

β) Τώρα έχουμε $g(x)=0\Leftrightarrow e^{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{e^x}}\Leftrightarrow e^{x}\sqrt{e^x}=\dfrac{1}{2 } \Leftrightarrow \left ( e^{x} \right )^3 = \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow e^{x}=\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x= \ln \sqrt[3]{\dfrac{1}{4}} =\dfrac{1}{3}\ln\dfrac{1}{4}\Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}\ln 2$ .

Ομοίως προκύπτει : $g(x)>0\Leftrightarrow e^{x}>\dfrac{1}{2\sqrt{e^x}}\Leftrightarrow e^{x}\sqrt{e^x}>\dfrac{1}{2 } \Leftrightarrow \left ( e^{x} \right )^3 > \dfrac{1}{4}\Leftrightarrow e^{x}>\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x> \ln \sqrt[3]{\dfrac{1}{4}} =\dfrac{1}{3}\ln\dfrac{1}{4}\Leftrightarrow x>-\dfrac{2}{3}\ln 2$ ,
αφού η $\ln x$ είναι γνησίως αύξουσα.

Συνεπώς είναι g(x) > 0

$\forall x \in \left ( - \dfrac{2}{3} \ln 2 , +\infty \right )$ και g(x) < 0

$\forall x \in \left (-\infty , \dfrac{2}{3} \ln 2 \right )$ .

γ) Ισχύει από παραπάνω $g(a)=0\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{e^a}}=2e^a$ και $e^a= \sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$ .
Αντικαθιστώντας στην

έχουμε : $f(a)=e^a+\dfrac{1}{\sqrt{e^a}}=e^a+2e^a=3e^a=3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}=\sqrt[3]{\dfrac{27}{4}}$ οπότε
$f(a)<2 \Leftrightarrow \sqrt[3]{\dfrac{27}{4}} <2 \Leftrightarrow \dfrac{27}{4} <8 \Leftrightarrow 27 < 32$ . Ισχύει.

δ) $f(x)=2\Leftrightarrow e^x +\dfrac{1}{\sqrt{e^x}} = 2 \Leftrightarrow e^x\sqrt{e^x}-2\sqrt{e^x}+1=0$ (1)
Θέτω $\sqrt{e^x} = w >0$ .
Αντικαθιστώντας στην (1) προκύπτει η εξίσωση w^3 -2w +1 = 0

η οποία παραγοντοποιείται με την μέθοδο Horner
ως εξής : (w-1)(w^2 +w -1) = 0

.
Άρα $w=1 \Rightarrow \sqrt{e^x}=1\Leftrightarrow e^x=1\Leftrightarrow x=0$
και λύνοντας την δευτεροβάθμια κρατάμε την θετική ρίζα : $w=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\Rightarrow \sqrt{e^x}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \Leftrightarrow e^x=\left (\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \right )^2 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ .
Άρα $x = \ln \dfrac{3-\sqrt{5}}{2}$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Γιώργος Απόκης · #4

Δύο συναρτήσεις - εκθετικές εξισώσεις

Δύο συναρτήσεις - εκθετικές εξισώσεις

Re: Δύο συναρτήσεις - εκθετικές εξισώσεις

Re: Δύο συναρτήσεις - εκθετικές εξισώσεις

Re: Δύο συναρτήσεις - εκθετικές εξισώσεις

Μέλη σε σύνδεση