Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Συντονιστής: polysot
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Διαγώνισμα 1 Επίπεδο: Αρχιμήδης
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 2
Αν για τα πολυώνυμα ισχύει ότι:
(1) Είναι μονικά με ακέραιους συντελεστές μεγαλύτερους του
(Μονικά είναι τα πολυώνυμα που έχουν συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με 1)
(2) Είναι μη σταθερά τέτοια ώστε:
για κάποιο περιττό πρώτο αριθμό και
(3) Ο είναι πρώτος αριθμός
α) Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα
β) Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε ;
(Με συμβολίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των )
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Τα ύψη τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου στο
στα σημεία αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τον στα
σημεία να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη με την .
Πρόβλημα 4
Δίνεται ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει σημεία του επιπέδου
έτσι ώστε ανά τρία να μην είναι συνευθειακά. Στην συνέχεια το παραπάνω
σύνολο, διαμερίζεται σε υποσύνολα. Έπειτα, σε κάθε ζεύγος σημείων που ανήκουν
στο ίδιο υποσύνολο, φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει και το
χρωματίζουμε με ένα από τα πέντε διαθέσιμα χρώματα. Μία διαμέριση του
συνόλου θα ονομάζεται "καλή" αν υπάρχει κατάλληλος χρωματισμός
έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται να έχει και τις 3 πλευρές του
βαμμένες με διαφορετικό χρώμα. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
έτσι ώστε να μην υπάρχει "καλή" διαμέριση του
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 2
Αν για τα πολυώνυμα ισχύει ότι:
(1) Είναι μονικά με ακέραιους συντελεστές μεγαλύτερους του
(Μονικά είναι τα πολυώνυμα που έχουν συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με 1)
(2) Είναι μη σταθερά τέτοια ώστε:
για κάποιο περιττό πρώτο αριθμό και
(3) Ο είναι πρώτος αριθμός
α) Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα
β) Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε ;
(Με συμβολίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των )
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Τα ύψη τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου στο
στα σημεία αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τον στα
σημεία να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη με την .
Πρόβλημα 4
Δίνεται ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει σημεία του επιπέδου
έτσι ώστε ανά τρία να μην είναι συνευθειακά. Στην συνέχεια το παραπάνω
σύνολο, διαμερίζεται σε υποσύνολα. Έπειτα, σε κάθε ζεύγος σημείων που ανήκουν
στο ίδιο υποσύνολο, φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει και το
χρωματίζουμε με ένα από τα πέντε διαθέσιμα χρώματα. Μία διαμέριση του
συνόλου θα ονομάζεται "καλή" αν υπάρχει κατάλληλος χρωματισμός
έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται να έχει και τις 3 πλευρές του
βαμμένες με διαφορετικό χρώμα. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
έτσι ώστε να μην υπάρχει "καλή" διαμέριση του
τελευταία επεξεργασία από Γιάννης Μπόρμπας σε Παρ Απρ 21, 2017 1:40 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Γεια σου Γιάννη!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 1
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Δίνω μία λύση στο πανέμορφο αυτό πρόβλημα
Καταρχήν, θα εξετάσουμε τις περιπτώσεις όπου κάποιο από τα είναι .
Αν , έχουμε την .
Αφού το είναι πρώτος, πρέπει .
(1).
Αν , και , άτοπο.
Άρα, .
Έτσι, .
Αν όμως , από την (1) είναι , άτοπο.
Άρα, , άρα , άτοπο.
Έστω λοιπόν .
Προφανώς, .
Με , .
Έστω λοιπόν .
Είναι .
Άρα, με , .
Έστω και εύκολα .
Με , , και αφού (απλό), οπότε , άτοπο.
Άρα, , ή .
Το .
Έτσι, .
Πρέπει , άτοπο.
Άρα, η εξίσωση είναι αδύνατη.
Και τώρα
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Είναι (εφαπτόμενη).Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 1
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Τα ύψη τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου στο
στα σημεία αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τον στα
σημεία να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη με την .
Άρα, , άρα εγγράψιμο.
Έτσι, , οπότε (1).
Από Θ. Nagel, και , άρα (2).
Από (1), (2) .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Μια μεταμεσονύκτια λύση για την γεωμετρία.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 1
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Τα ύψη τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου στο
στα σημεία αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τον στα
σημεία να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη με την .
ως υπό χορδής και εφαπτομένης
Επίσης:
Συνεπώς: εγγράψιμο από όπου:
Από όπου προκύπτει: ή
Άρα μέσο του τόξου και
Είναι και ως εφαπτόμενη άρα: .
Από το εγγράψιμο έχω: και ως υπό χορδής και εφαπτομένης:
και από τις δύο τελευταίες: και από όπου το ζητούμενο άμεσο.
Υ.Γ. με πρόλαβε ο Ορέστης
Αρμενιάκος Σωτήρης
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Μια άλλη αντιμετώπιση:Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 1
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Κάθε κύβος είναι της μορφής .
Επομένως πρέπει
Με επαγωγή εύκολα βρίσκουμε πως αυτό επιτυγχάνεται όταν .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα η εξίσωση γίνεται:
Ακόμη τα δυνατά υπόλοιπα του με το είναι . Ταυτόχρονα όμως πρέπει το να είναι της μορφής ή . Σε καμία περίπτωση όμως δεν γίνεται κάτι τέτοιο.
Houston, we have a problem!
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς
Πάρα πολύ όμορφα!Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Μια άλλη αντιμετώπιση:Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 1
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Κάθε κύβος είναι της μορφής .
Επομένως πρέπει
Με επαγωγή εύκολα βρίσκουμε πως αυτό επιτυγχάνεται όταν .
Άρα η εξίσωση γίνεται:
Όμως , άρα η εξίσωση γίνεται:
Ακόμη τα δυνατά υπόλοιπα του με το είναι . Ταυτόχρονα όμως πρέπει το να είναι της μορφής ή . Σε καμία περίπτωση όμως δεν γίνεται κάτι τέτοιο.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Φαντάζομαι εννοεί ότι κάθε δύο πλευρές κάθε τριγώνου που σχηματίζεται έχουν διαφορετικό χρώμα. Επίσης πρέπει να αγνοηθεί το «κάθε υποσύνολο να περιέχει τουλάχιστον σημεία.» Αλλιώς για κάθε δεν μπορεί καν να υπάρξει διαμέριση ώστε κάθε υποσύνολο να περιέχει τουλάχιστον σημεία.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Πρόβλημα 4
Δίνεται ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει σημεία του επιπέδου
έτσι ώστε ανά τρία να μην είναι συνευθειακά. Στην συνέχεια το παραπάνω
σύνολο, διαμερίζεται σε υποσύνολα έτσι ώστε κάθε υποσύνολο να περιέχει
τουλάχιστον σημεία. Έπειτα, σε κάθε ζεύγος σημείων που ανήκουν
στο ίδιο υποσύνολο, φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει και το
χρωματίζουμε με ένα από τα πέντε διαθέσιμα χρώματα. Μία διαμέριση του
συνόλου θα ονομάζεται "καλή" αν υπάρχει κατάλληλος χρωματισμός
έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται να έχει διαφορετικό χρώμα
πλευρών. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του έτσι ώστε να μην υπάρχει
"καλή" διαμέριση του
Θα δείξουμε ότι το μέγιστο τέτοιο είναι το :
Αν τότε, επειδή , από την αρχή του περιστερώνα θα υπάρχει ένα υποσύνολο με τουλάχιστον σημεία. Παίρνω ένα από αυτά τα σημεία και κοιτάζω τα τουλάχιστον ευθύγραμμα τμήματα που ξεκινούν από αυτό. Τουλάχιστον θα έχουν το ίδιο χρώμα και θα σχηματίζουν τρίγωνο, άτοπο.
Έστω τώρα . Τότε μπορώ να διαμερίσω το σύνολο σε υποσύνολα μεγέθους το πολύ . Αρκεί να δείξω πως κάθε τέτοιο υποσύνολο μπορεί να χρωματιστεί «καλά». Ένας τέτοιος χρωματισμός φαίνεται πιο κάτω:
Ο πιο πάνω χρωματισμός γενικεύεται σε χρωματισμό όλων των ευθυγράμμων τμημάτων μεταξύ σημείων με χρώματα ώστε να μην υπάρχει σημείο στο οποίο να εμφανίζονται δύο χρώματα: Παίρνουμε ένα κανονικό -γωνο μαζί με το κέντρο του. Χρωματίζουμε τα τμήματα από το κέντρο προς τις κορυφές με διαφορετικά χρώματα. Κάθε άλλο τμήμα παίρνει το χρώμα της ακτίνας στην οποία είναι κάθετο.
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Σας ευχαριστώ για την διευκρίνηση, μόλις βελτίωσα την εκφώνηση. Αυτή ήταν η αρχική ιδέα που είχα, όμως πίστευαDemetres έγραψε: Ο πιο πάνω χρωματισμός γενικεύεται σε χρωματισμό όλων των ευθυγράμμων τμημάτων μεταξύ σημείων με χρώματα ώστε να μην υπάρχει σημείο στο οποίο να εμφανίζονται δύο χρώματα: Παίρνουμε ένα κανονικό -γωνο μαζί με το κέντρο του. Χρωματίζουμε τα τμήματα από το κέντρο προς τις κορυφές με διαφορετικά χρώματα. Κάθε άλλο τμήμα παίρνει το χρώμα της ακτίνας στην οποία είναι κάθετο.
ότι η γενικευμένη κατασκευή θα ξέφευγε από αυτό το επίπεδο.
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 9
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Θα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει μια λυση ή υπόδειξη στο πρόβλημα 2 γιατί έχω κολλήσει;
-
- Δημοσιεύσεις: 217
- Εγγραφή: Τρί Δεκ 13, 2016 10:41 pm
- Τοποθεσία: Χανιά
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Καλησπέρα Αλέξανδρε, εάν με και με δείξε ότι ο μεγιστοβάθμιος όρος του πολυωνύμου είναι ανεξάρτητος του καθώς και ο μεγιστοβάθμιος όρος του είναι ανεξάρτητος του . Τι ισχύει για τους μεγιστοβάθμιους όρους 2 ίσων πολυωνύμων;AlexNtagkas έγραψε: ↑Κυρ Ιαν 27, 2019 6:39 pmΘα μπορούσε κάποιος να ανεβάσει μια λυση ή υπόδειξη στο πρόβλημα 2 γιατί έχω κολλήσει;
Γιάννης Μπορμπαντωνάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Πρόβλημα 2Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: ↑Τρί Απρ 11, 2017 11:02 pmΔιαγώνισμα 1 Επίπεδο: Αρχιμήδης
Πρόβλημα 1
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων
που ικανοποιούν την εξίσωση:
Πρόβλημα 2
Αν για τα πολυώνυμα ισχύει ότι:
(1) Είναι μονικά με ακέραιους συντελεστές μεγαλύτερους του
(Μονικά είναι τα πολυώνυμα που έχουν συντελεστή μεγιστοβάθμιου όρου ίσο με 1)
(2) Είναι μη σταθερά τέτοια ώστε:
για κάποιο περιττό πρώτο αριθμό και
(3) Ο είναι πρώτος αριθμός
α) Να βρεθούν τα δυνατά πολυώνυμα
β) Ποια είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη έτσι ώστε ;
(Με συμβολίζουμε τον μέγιστο κοινό διαιρέτη των )
Πρόβλημα 3
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο .
Τα ύψη τέμνουν την εφαπτόμενη του κύκλου στο
στα σημεία αντίστοιχα. Αν οι τέμνουν τον στα
σημεία να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη με την .
Πρόβλημα 4
Δίνεται ένα σύνολο το οποίο περιλαμβάνει σημεία του επιπέδου
έτσι ώστε ανά τρία να μην είναι συνευθειακά. Στην συνέχεια το παραπάνω
σύνολο, διαμερίζεται σε υποσύνολα. Έπειτα, σε κάθε ζεύγος σημείων που ανήκουν
στο ίδιο υποσύνολο, φέρνουμε το ευθύγραμμο τμήμα που τα ενώνει και το
χρωματίζουμε με ένα από τα πέντε διαθέσιμα χρώματα. Μία διαμέριση του
συνόλου θα ονομάζεται "καλή" αν υπάρχει κατάλληλος χρωματισμός
έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που σχηματίζεται να έχει και τις 3 πλευρές του
βαμμένες με διαφορετικό χρώμα. Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
έτσι ώστε να μην υπάρχει "καλή" διαμέριση του
a)Έστω
Μεγιστοβαθμιος όρος:
Όμως
Οποτε,
και για κάποιον περιττό πρώτο p
,όπου πρωτος για κάθε πραγματική τιμή του
Άρα
Όποτε ή
Όμως επειδή οι συντελεστές των πολυωνυμων είμαι μεγαλύτεροι του -4 δεκτή είμαι μόνο η λύση
Έστω ,y πραγματικός
Τοτε:
Αφού
b)Κανένα πολυωνυμο δεν διαιρει το
Οποτε για να είναι πρέπει
Άρα ,αν
Αν τοτε και το πολυωνυμο είναι αναγωγο
Τσούρα Χριστίνα
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Μπορεί κάποιος να ανεβάσει μια λυση στο πρόβλημα 2 γιατί δυσκολεύομαι πολύ
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Πέτρο καλό θα είναι να αποφεύγονται αυτά:
Μην κρίνεις τους άλλους για να μην κριθείς. Διότι τα ορθογραφικά σου βγάζουν μάτι. Καλό είναι πρώτα να βλέπουμε τα δικά μας προβλήματα και μετά των άλλων. Οπότε διόρθωσε σε παρακαλώ πολύ τα ορθογραφικά σου διότι αυτά δεν είναι ελληνικά.
Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Ενταξει αλλά δεν την πρόσβαλαM.S.Vovos έγραψε: ↑Παρ Φεβ 01, 2019 11:19 pmΠέτρο καλό θα είναι να αποφεύγονται αυτά:
Μην κρίνεις τους άλλους για να μην κριθείς. Διότι τα ορθογραφικά σου βγάζουν μάτι. Καλό είναι πρώτα να βλέπουμε τα δικά μας προβλήματα και μετά των άλλων. Οπότε διόρθωσε σε παρακαλώ πολύ τα ορθογραφικά σου διότι αυτά δεν είναι ελληνικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 9
- Εγγραφή: Κυρ Ιαν 20, 2019 8:46 am
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Εστω
Τοτε ο μεγιστοβαθμιος ορος του ειναι βαθμού και προκύπτει απο τη διαφορα :
στην οποια εχουμε φορες το
Οπότε ο μεγιστοβαθμιος ειναι
Αν τωρα υποθεσουμε
ο μεγιστοβαθμιος του ειναι
Πρεπει λοιπον
και
Αν τοτε απο Bernoulli :
που ειναι ατοπο.
Αρα
Εστω
Επειδη τα πολυώνυμα εχουν ακέραιους συντελεστές ισχυέι: και επειδη c πρωτος
Αντικαθιστώντας στην αρχικη τα πολυώνυμα προκυπτει
Αρα τα δυνατά πολυώνυμα.
Γιατο β ειναι η ιδια λυση με τις Χριστίνας εκμεταλλευόμενοι οτι "πρωτο ".
Τοτε ο μεγιστοβαθμιος ορος του ειναι βαθμού και προκύπτει απο τη διαφορα :
στην οποια εχουμε φορες το
Οπότε ο μεγιστοβαθμιος ειναι
Αν τωρα υποθεσουμε
ο μεγιστοβαθμιος του ειναι
Πρεπει λοιπον
και
Αν τοτε απο Bernoulli :
που ειναι ατοπο.
Αρα
Εστω
Επειδη τα πολυώνυμα εχουν ακέραιους συντελεστές ισχυέι: και επειδη c πρωτος
Αντικαθιστώντας στην αρχικη τα πολυώνυμα προκυπτει
Αρα τα δυνατά πολυώνυμα.
Γιατο β ειναι η ιδια λυση με τις Χριστίνας εκμεταλλευόμενοι οτι "πρωτο ".
-
- Δημοσιεύσεις: 50
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 23, 2018 11:26 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Έστω
Από μικρο θεώρημα Fermat:
Όποτε
Ισχύει ότι
1η περίπτωση:
,άτοπο
2η περίπτωση:
Όποτε ,άτοπο
3η περίπτωση:
Πρέπει ,άτοπο
Τα πιθανά υπόλοιπα είναι
Αν :
Έστω και
Έστω και
,άτοπο
Οποτε ο δεν είναι τέλειος κύβος και η αρχική εξίσωση δεν ισχύει για
Αν :
Έστω και
Οποτε ο δεν είναι δύναμη του 2 και αρχική εξίσωση δεν επαληθεύεται για
Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση είναι αδύνατη
Από μικρο θεώρημα Fermat:
Όποτε
Ισχύει ότι
1η περίπτωση:
,άτοπο
2η περίπτωση:
Όποτε ,άτοπο
3η περίπτωση:
Πρέπει ,άτοπο
Τα πιθανά υπόλοιπα είναι
Αν :
Έστω και
Έστω και
,άτοπο
Οποτε ο δεν είναι τέλειος κύβος και η αρχική εξίσωση δεν ισχύει για
Αν :
Έστω και
Οποτε ο δεν είναι δύναμη του 2 και αρχική εξίσωση δεν επαληθεύεται για
Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση είναι αδύνατη
Τσούρα Χριστίνα
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Χριστινα η εξίσωση δεν είναι αδύνατη
Έχει λύσεις αρνητικούς ακέραιους
Έχει λύσεις αρνητικούς ακέραιους
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 1
Ναι αλλά η εκφώνηση δεν είναι
Να βρεθούν όλες οι τριάδες μη αρνητικών ακεραίων...;
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες