Εύρεση (;) παράγουσας

Γιώργος Απόκης · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb R}$ και για την οποία ισχύουν :

$\displaystyle{f(1)=\ln(1+\sqrt{2})}$ και $\displaystyle{f'(x)\sqrt{x^2+1}=x+\ln(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb R}$ .

Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{f(x)=x\ln(x+\sqrt{x^2+1})}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb R}$ .

(Γ' Κατ. - Μέχρι 17/5/17)

Tolaso J Kos · #2

Μιας και η προθεσμία εξέπνευσε πριν ένα λεπτό !!

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb R}$ και για την οποία ισχύουν :

$\displaystyle{f(1)=\ln(1+\sqrt{2})}$ και $\displaystyle{f'(x)\sqrt{x^2+1}=x+\ln(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb R}$ .

Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{f(x)=x\ln(x+\sqrt{x^2+1})}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb R}$ .

(Γ' Κατ. - Μέχρι 17/5/17)

Έχουμε:
$\displaystyle{f'\left ( x \right ) \sqrt{x^2+1} = x + \ln \left ( x+ \sqrt{x^2+1} \right ) \sqrt{x^2+1} \Rightarrow f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right )}$ Όμως
$\displaystyle{\begin{aligned} \int \frac{{\rm d}x}{\sqrt{x^2+1}} &\overset{x=\frac{1}{2}\left ( t - \frac{1}{t} \right )}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!} \bigintsss \frac{\frac{1}{2} \left ( 1 + \frac{1}{t^2} \right )}{\frac{1}{2} \left ( t + \frac{1}{t} \right )} \, {\rm d}t \\ &= \int \frac{{\rm d}t}{t} \\ &= \ln t + c \; , \; c \in \mathbb{R} \\ &= \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) + c \; , \; c \in \mathbb{R} \end{aligned}}$ διότι η δεύτερη επίλυση ως προς

δίδει $t = x - \sqrt{x^2+1}<0$ άρα απορρίπτεται οπότε κρατάμε τη πρώτη. Συνεπώς
$\displaystyle{\begin{aligned} f'(x)= \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) &\Rightarrow f'(x) = \left [ x \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \right ]' \\ &\Rightarrow f(x) = x \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) + c \\ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \!\!\overset{f(1) = \ln \left ( 1+\sqrt{2} \right )\Rightarrow c =0}{=\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\! =\!=\! \Rightarrow } f(x) = x \ln \left ( x + \sqrt{x^2+1} \right ) \; , \; x \in \mathbb{R} \end{aligned}}$ Βέβαια θα μπορούσε ο μαθητής να υποψιαστεί ότι κάτι τρέχει με το $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}}$ και το $\ln \left( x + \sqrt{x^2+1} \right)$ και να κάνει μία δοκιμή και στη συνέχεια να γράψει ... "Παρατηρούμε ότι ..." και να αποφύγει όλη τη παραπάνω φασαρία και δη τη κλασσική αντικατάσταση για άρρητα ολοκληρώματα που χω κάνει.

Πάντως , αυτή η συνάρτηση ( $\ln \left( x + \sqrt{x^2+1} \right)$ ) έχει γίνει πολύ δημοφιλής τα τελευταία ( πόσα άραγε ) χρόνια !! Όλα τα θέματα που βλέπω πλέον την περιέχουν είτε άμεσα είτε έμμεσα. Νομίζω την έχουμε τεντώσει τόσο αυτή όσο και την αντίστροφη τής. Δε νομίζω να ήθελα να τη δω στις εξετάσεις.

Γιώργος Απόκης · #3

Aπόστολε καλησπέρα! Ευχαριστώ για τη λύση.

Όμως, το αόριστο ολοκλήρωμα είναι εκτός της διδακτέας (και της εξεταστέας) ύλης αν θυμάμαι καλά από το σχολικό έτος 2010-2011.

Έχουν γίνει συζητήσεις για το θέμα αυτό, η γνώμη μου είναι ότι δεν εξυπηρετούσε απολύτως τίποτα η αφαίρεση αυτή.

Ας δούμε λύσεις χωρίς αόριστο ολοκλήρωμα...

#4

Γιώργος Απόκης έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb R}$ και για την οποία ισχύουν :

$\displaystyle{f(1)=\ln(1+\sqrt{2})}$ και $\displaystyle{f'(x)\sqrt{x^2+1}=x+\ln(x+\sqrt{x^2+1})\sqrt{x^2+1}}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb R}$ .

Να αποδείξετε ότι : $\displaystyle{f(x)=x\ln(x+\sqrt{x^2+1})}$ για κάθε $\displaystyle{x\in\mathbb R}$ .

(Γ' Κατ. - Μέχρι 17/5/17)

...σαν μαθητής....

Αν $g(x)=\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}),\,\,x\in R$ τότε ${g}'(x)=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}},\,\,x\in R$ και η ισότητα γράφεται

${f}'(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}=x+g(x)\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Leftrightarrow {f}'(x)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}+g(x)\Leftrightarrow$

${f}'(x)=x{g}'(x)+g(x)\Leftrightarrow {f}'(x)=(xg(x){)}'\Leftrightarrow f(x)=xg(x)+c$ ή

$f(x)=x\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})+c$ και επειδή $\displaystyle{f(1)=\ln(1+\sqrt{2})}$ προκύπτει ότι c=0

άρα

$f(x)=x\ln (x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}),\,\,\,x\in R$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Γιώργος Απόκης · #5

Βασίλη ευχαριστώ! Μια τέτοια λύση περίμενα

M.S.Vovos · #6

Δυστυχώς το αρνητικό όλων αυτών των ασκήσεων είναι ότι... προδίδεται η λύση εύκολα!

Για παράδειγμα, αν ένας μαθητής έγραφε:
$\displaystyle{f'(x)\sqrt{x^{2}+1}=x+\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )\sqrt{x^{2}+1}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right ) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f'(x)=\left ( x\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right ) \right )'}\Leftrightarrow$

$\displaystyle{f(x)=x\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right )+c}$ Και επειδή $f(1)=\ln(1+\sqrt{2})$ έχουμε ότι c=0

κ.τ.λ.
Θεωρώ ότι άριστα θα έπαιρνε.

Εν ολίγοις, ο μαθητής "έκλεψε" αφού δεν υπολόγισε την αρχική του $\displaystyle{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\ln \left ( x+\sqrt{x^{2}+1} \right ) }$ .

Φιλικά.

Γιώργος Απόκης · #7

Εύρεση (;) παράγουσας

Εύρεση (;) παράγουσας

Re: Εύρεση (;) παράγουσας

Re: Εύρεση (;) παράγουσας

Re: Εύρεση (;) παράγουσας

Re: Εύρεση (;) παράγουσας

Re: Εύρεση (;) παράγουσας

Re: Εύρεση (;) παράγουσας

Μέλη σε σύνδεση