Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Συντονιστής: polysot
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Διαγώνισμα 11 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το έγκεντρό του. Η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην τέμνει την στο ενώ η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην τέμνει την στο Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία και Αν το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το να δείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους υπάρχει πρώτος αριθμός τέτοιος ώστε ο αριθμός
να είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 3
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε
(α) για κάθε
(β)
Πρόβλημα 4
Σε ένα μακρινό πλανήτη, οι κάτοικοι μιλούν μια γλώσσα το αλφάβητο της οποίας αποτελείται μόνο από δύο γράμματα, τα A και B. Σουηδοί επιστήμονες, κατά τη μελέτη αυτής της γλώσσας, αντιστοίχησαν σε κάθε λέξη της έναν αριθμό, που ονόμασαν συντελεστή ABBA, και ο οποίος ισούται με το συνολικό αριθμό εμφανίσεων της ακολουθίας "ABBA" μέσα στη λέξη, όχι απαραίτητα συνεχόμενα. Για παράδειγμα, η λέξη AABA έχει συντελεστή ABBA η λέξη ABBA η λέξη AABBBA ενώ η λέξη ABBABBA
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός συντελεστής ABBA μιας λέξης με γράμματα;
Πρόβλημα 1
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το έγκεντρό του. Η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην τέμνει την στο ενώ η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην τέμνει την στο Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία και Αν το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το να δείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Πρόβλημα 2
Να βρείτε όλους τους θετικούς ακέραιους για τους οποίους υπάρχει πρώτος αριθμός τέτοιος ώστε ο αριθμός
να είναι ακέραιος.
Πρόβλημα 3
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε
(α) για κάθε
(β)
Πρόβλημα 4
Σε ένα μακρινό πλανήτη, οι κάτοικοι μιλούν μια γλώσσα το αλφάβητο της οποίας αποτελείται μόνο από δύο γράμματα, τα A και B. Σουηδοί επιστήμονες, κατά τη μελέτη αυτής της γλώσσας, αντιστοίχησαν σε κάθε λέξη της έναν αριθμό, που ονόμασαν συντελεστή ABBA, και ο οποίος ισούται με το συνολικό αριθμό εμφανίσεων της ακολουθίας "ABBA" μέσα στη λέξη, όχι απαραίτητα συνεχόμενα. Για παράδειγμα, η λέξη AABA έχει συντελεστή ABBA η λέξη ABBA η λέξη AABBBA ενώ η λέξη ABBABBA
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός συντελεστής ABBA μιας λέξης με γράμματα;
Θανάσης Κοντογεώργης
Λέξεις Κλειδιά:
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Καλημέρα Θανάση.socrates έγραψε:Διαγώνισμα 11 Επίπεδο: Αρχιμήδης/Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Θεωρούμε οξυγώνιο τρίγωνο και έστω το έγκεντρό του. Η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην τέμνει την στο ενώ η ευθεία που περνάει από το και είναι παράλληλη στην τέμνει την στο Η ευθεία τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία και Αν το μέσο του τόξου που δεν περιέχει το να δείξετε ότι το είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου
Είναι συνευθειακά (1).
Είναι (2).
Είναι , οπότε παραλληλόγραμμο (3).
Από (2), (3), το είναι ρόμβος, οπότε (4).
Από (1), (4) , έχουμε (5).
Έστω .
Είναι μεσοκάθετος του .
Άρα, εγγράψιμο.
Άρα, , οπότε (6).
Από (5), (6), έχουμε το ζητούμενο.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Καλησπέρα! Μια λύση (ελπίζω σωστή), αν και νομίζω ότι το κούρασα πολύ.
Έστω
i) Για ο είναι ακέραιος για κάθε .
ii) Για ο αριθμητής είναι περιττός ενώ ο παρονομαστής άρτιος, άρα σε κάθε περίπτωση δεν είναι ακέραιος.
iii) Για o αριθμητής είναι άρα ο είναι ακέραιος για κάθε
iv) Για είναι άρα πρέπει άτοπο.
Έστω τώρα . Θα λάβουμε 2 περιπτώσεις:
i) Ο είναι σύνθετος.
Λήμμα: Αν ο είναι σύνθετος με τότε .
Απόδειξη: Εστω με . Τοτε αφού θα είναι και . Γνωρίζουμε ότι ο αριθμός είναι ακέραιος άρα όμως άρα όμως άρα και το λήμμα αποδείχθηκε.
Συνεπώς πρέπει με ή .
ii) Ο είναι πρώτος.
Τότε από το θεώρημα Wilson άρα πρέπει . Τότε όμως ο είναι πρώτος άρα:
a) δηλ.
b) όμως άρα , άτοπο.
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
Έστω , με .
Έστω επίσης .
Θεωρούμε την δοσμένη συναρτησιακή σχέση. Τότε, (1).
Θα αποδείξουμε ότι η είναι 1-1. Πράγματι, αν με ό.έ.δ.
Επίσης, (2).
Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
α) , τότε
.
β) , τότε αφού 1-1, δεν υπάρχει άλλος αριθμός ώστε , άρα , με . Θέτουμε , άτοπο.
Άρα, , και από (1), .
Επομένως, , άσχετα από το εάν .
Έτσι, (3).
Είναι (4).
Επίσης, , από (4).
Άρα, , και από (1), .
Έστω , άρα .
Με αντικατάσταση στην αρχική προκύπτει , άρα , που επαληθεύουν.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Προετοιμασία για διαγωνισμούς - Διαγώνισμα 11
socrates έγραψε: ↑Τετ Μάιος 17, 2017 1:08 amΠρόβλημα 4
Σε ένα μακρινό πλανήτη, οι κάτοικοι μιλούν μια γλώσσα το αλφάβητο της οποίας αποτελείται μόνο από δύο γράμματα, τα A και B. Σουηδοί επιστήμονες, κατά τη μελέτη αυτής της γλώσσας, αντιστοίχησαν σε κάθε λέξη της έναν αριθμό, που ονόμασαν συντελεστή ABBA, και ο οποίος ισούται με το συνολικό αριθμό εμφανίσεων της ακολουθίας "ABBA" μέσα στη λέξη, όχι απαραίτητα συνεχόμενα. Για παράδειγμα, η λέξη AABA έχει συντελεστή ABBA η λέξη ABBA η λέξη AABBBA ενώ η λέξη ABBABBA
Ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός συντελεστής ABBA μιας λέξης με γράμματα;
Θεωρώ την λέξη με τον μέγιστο συντελεστή . Για , γράφω για τον συντελεστή της λέξης και για τον συντελεστή της λέξης , όπου . (Οι συντελεστές και ορίζονται με τον προφανή τρόπο.)
Για , θέτω και παρατηρώ ότι η ακολουθία είναι αύξουσα. Έχω . (Σε διαφορετική περίπτωση ο συντελεστής της λέξης ισούται με , άτοπο.)
Υπάρχει λοιπόν ώστε και .
Μπορώ να υποθέσω ότι στο κομμάτι δεν υπάρχει ακολουθούμενο από . Πράγματι, αν και με , τότε αλλάζοντάς τα σε και ο συντελεστής αλλάζει ως εξής:
Έχουμε μείωση κατά αφού οι μόνες ακολουθίες που χάνονται είναι αυτές όπου το τελικό είναι στις θέσεις και . Ταυτοχρόνως όμως, έχουμε για παρόμοιο λόγο αύξηση κατά . Συνολικά λοιπόν έχω αύξηση κατά
Ομοίως μπορώ να υποθέσω ότι στο κομμάτι δεν υπάρχει ακολουθούμενο από .
Άρα μπορώ να υποθέσω ότι η λέξη είναι της μορφής .
Έστω ότι η λέξη ξεκινά με γράμματα , συνεχίζει με γράμματα , και τελειώνει με γράμματα . Τότε ο συντελεστής της λέξης ισούται με για ψάχνουμε να το μεγιστοποιήσουμε υπό την συνθήκη με τα φυσικούς.
Έχουμε
Θέτω . Τότε
με ισότητα αν και μόνο αν . (Στην πρώτη ανισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι ο είναι ακέραιος και άρα .)
Επομένως ο μέγιστος συντελεστής ισούται με και επιτυγχάνεται για την λέξη που ξεκινά με γράμματα , συνεχίζει με γράμματα , και τελειώνει με γράμματα .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες