Έστω , μεΠρόβλημα 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι εξίσωση:
να μην έχει λύση στους ακεραίους
Έχουμε ότι
Έτσι
Επίσης
Τοτέ δηλαδή .
Άρα η διοφαντική εξίσωση δεν έχει λύση για καθε με
Συντονιστής: polysot
Έστω , μεΠρόβλημα 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι εξίσωση:
να μην έχει λύση στους ακεραίους
Παρατηρούμε πως και ότιΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι εξίσωση:
να μην έχει λύση στους ακεραίους
Πολύ ωραία! Καλό θα ήταν να μας πεις πώς σκέφτηκες τον αριθμό διότι αυτή είναι η ουσία της άσκησης.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Παρατηρούμε πως και ότιΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι εξίσωση:
να μην έχει λύση στους ακεραίους
Επομένως έχουμε
Όμως όταν , παίρνουμε πως
Επομένως σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε πως:
, που είναι προφανώς άτοπο.
Επομένως όταν έχουμε πως η εξίσωση δεν έχει λύσεις στους ακεραίους.
Γεια σε όλους.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του.
Έστω το σημείο τομής της με τον και το σημείο τομής
της με τον . Έστω το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου
του τριγώνου ως προς το . Αν είναι τα μέσα των πλευρών
αντιστοίχως να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Καλησπέρα!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με άλλους φίλους του παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά κάθονται σε έναν κύκλο, με τον Θανάση να έχει πρώτος την μπάλα.
Από τους παίκτες στο σύνολο, οι από αυτούς είναι δυνατοί και οι αδύναμοι.
Σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει την μπάλα, πρέπει να την πασάρει σε άλλον παίκτη δεξιόστροφα ως εξής:
α) Αν ο παίκτης είναι αδύναμος, τότε πασάρει την μπάλα στον αμέσως επόμενό του.
β) Αν ο παίκτης είναι δυνατός, τότε πασάρει την μπάλα στον παραεπόμενό του, προσπερνώντας τον επόμενό του.
Το παιχνίδι τελειώνει, αν η μπάλα επιστρέψει στον Θανάση μετά από πεπερασμένο αριθμό πασών.
Ένα παιχνίδι θα λέγεται αν ακριβώς διαφορετικά άτομα δέχθηκαν τουλάχιστον 1 φορά την μπάλα.
1) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
Αρχικά παρατηρούμε εύκολα ότιΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Πολύ ωραία! Καλό θα ήταν να μας πεις πώς σκέφτηκες τον αριθμό διότι αυτή είναι η ουσία της άσκησης.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε:Παρατηρούμε πως και ότιΓιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 1
Να αποδείξετε ότι υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε οι εξίσωση:
να μην έχει λύση στους ακεραίους
Επομένως έχουμε
Όμως όταν , παίρνουμε πως
Επομένως σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε πως:
, που είναι προφανώς άτοπο.
Επομένως όταν έχουμε πως η εξίσωση δεν έχει λύσεις στους ακεραίους.
Έστω ο πρώτος που ψάχνουμε. Εγώ σκέφτηκα ότι θέλουμε τα και να παίρνουν όλες τις τιμές ώστε το να μπορεί να διαιρεί και τα δύο για κάποιο . Ψάχνουμε δηλαδή πρώτο ώστε το και το να είναι primitive roots. Όντως για συμβαίνει αυτό.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Πολύ ωραία! Καλό θα ήταν να μας πεις πώς σκέφτηκες τον αριθμό διότι αυτή είναι η ουσία της άσκησης.
Για την πληρότητα, υποθέτουμε ότι μπορεί η μπάλα να φτάσει στον Θανάση σε κάποιο κύκλο χωρίς να έχει επιστρέψει σε αυτόν στον πρώτο κύκλο. Επειδή όμως χρειάζονται τουλάχιστον πάσες, αυτό σημαίνει ότι τουλάχιστον ένα άτομο θα ξαναλάβει την μπάλα στον δεύτερο γύρο, ο οποίος θα την στείλει στο ίδιο σημείο που την έστειλε στον πρώτο γύρο. Αφού όμως η μπάλα δεν κατέλληξε στον Θανάση στον πρώτο γύρο, δεν θα καταλλήξει και ποτέ, που είναι άτοπο αφού το παιχνίδι τελειώνει.ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Καλησπέρα!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με άλλους φίλους του παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά κάθονται σε έναν κύκλο, με τον Θανάση να έχει πρώτος την μπάλα.
Από τους παίκτες στο σύνολο, οι από αυτούς είναι δυνατοί και οι αδύναμοι.
Σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει την μπάλα, πρέπει να την πασάρει σε άλλον παίκτη δεξιόστροφα ως εξής:
α) Αν ο παίκτης είναι αδύναμος, τότε πασάρει την μπάλα στον αμέσως επόμενό του.
β) Αν ο παίκτης είναι δυνατός, τότε πασάρει την μπάλα στον παραεπόμενό του, προσπερνώντας τον επόμενό του.
Το παιχνίδι τελειώνει, αν η μπάλα επιστρέψει στον Θανάση μετά από πεπερασμένο αριθμό πασών.
Ένα παιχνίδι θα λέγεται αν ακριβώς διαφορετικά άτομα δέχθηκαν τουλάχιστον 1 φορά την μπάλα.
1) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
Αφού το παιχνίδι τελειώνει με την επιστροφή της μπάλας στον Θανάση και οι παίκτες είναι θα πρέπει η μπάλα να περάσει από χέρια. Ομως άρα η μπάλα πέρασε από ανθρώπους. Αν oι δυνατοί και οι αδύναμοι αντίστοιχα τότε το είναι ίσο με την μέγιστη τιμή του αθροίσματος . Αφού η μπάλα πέρασε από άτομα τα ικανοποιούν την . Αρα θέλουμε να έχουμε στο αριστερό μέλος το άθροισμα και στο δεξί μια παράσταση που περιέχει σε άθροισμα ή γινόμενο τα και τότε ξέρουμε ότι θα ισούται με . Γράφουμε λοιπόν την εξίσωση ως εξής: . Αρα . Ομως αν ο είναι περιττός θα έχουμε άτοπο από την . Αρα αν ο είναι περιττός. Συνεπώς:
Φυσικά μας βολεύει ο πρώτος αριθμός να είναι τέτοιος ώστε το και το να αποτελούν πλήρες σύστημα υπολοίπων για όμως θα πρέπει παράλληλα για την τιμή του που ο διαιρεί την μία παρένθεση (η οποία υπάρχει σίγουρα), να διαιρεί και την άλλη, κάτι που θα ήταν αρκετά κουραστικό αν ο μικρότερος πρώτος δεν ήταν το αλλά το . Για αυτό καλείται ο λύτης να βρεί ένα τρόπο να απορρίψει γρήγορα τους προηγούμενους πρώτους. Αναρωτιέμαι ποιος είναι ο επόμενος πρώτος αριθμός με αυτήν την ιδιότητα άραγε...silouan έγραψε:Έστω ο πρώτος που ψάχνουμε. Εγώ σκέφτηκα ότι θέλουμε τα και να παίρνουν όλες τις τιμές ώστε το να μπορεί να διαιρεί και τα δύο για κάποιο . Ψάχνουμε δηλαδή πρώτο ώστε το και το να είναι primitive roots. Όντως για συμβαίνει αυτό.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε: Πολύ ωραία! Καλό θα ήταν να μας πεις πώς σκέφτηκες τον αριθμό διότι αυτή είναι η ουσία της άσκησης.
Πολύ ωραία λύση, μπράβο Ορέστη!Ορέστης Λιγνός έγραψε:Γεια σε όλους.Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15 Επίπεδο: Προκριματικός Seniors
Πρόβλημα 2
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος κύκλος του.
Έστω το σημείο τομής της με τον και το σημείο τομής
της με τον . Έστω το κέντρο του παρεγγεγραμμένου κύκλου
του τριγώνου ως προς το . Αν είναι τα μέσα των πλευρών
αντιστοίχως να αποδείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά.
Έστω ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται στην στο και στην στο .
Έστω επίσης το έκκεντρο του .
Θα αποδείξουμε πρώτα το εξής λήμμα.
Λήμμα
Αν το μέσο της , τότε .
Απόδειξη
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, και αφού , η διχοτομεί την γωνία .
Όμως, η είναι διχοτόμος της , άρα τα είναι συνευθειακά.
Από μετρικές σχέσει στο ορθογώνιο , είναι , οπότε η
εφάπτεται στον κύκλο .
borbas-2.png
Θέτουμε .
Άρα, .
Από απλό angle-chasing, .
Έστω .
Είναι , οπότε , και το λήμμα δείχτηκε.
Θα αποδείξουμε τώρα ότι .
Έστω .
Από τον ορισμό του παρακέντρου, η διχοτομεί την , άρα συνευθειακά.
Από Θ. Διχοτόμου, , και ως γνωστόν , οπότε (1).
Επίσης, , και , άρα (2).
Από (1), (2), (3).
Ακόμη, .
Από Ν. Ημιτόνων, .
borbas.png
Αντικαθιστώντας και απλοποιώντας χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικούς τύπους θα προκύψει στο τέλος (είναι αρκετές οι πράξεις, γι'αυτό τις παραλείπω), (4).
Από (3),(4), .
Έτσι, , και .
Από τις δύο παραπάνω ισότητες, τα είναι όμοια.
Αφού λοιπόν τα παραπάνω είναι όμοια και οι οι αντίστοιχες διάμεσοι, .
Καταλήγουμε ότι , και όμοια .
Άρα,
, οπότε τα είναι ομοκυκλικά.
Χάρη, δεν κατανοώ την δικαιολόγησή σου. Βάζω το δικό μου σκεπτικό:ΧΑΡΗΣ ΤΙΟΥΡΙΝΓΚ έγραψε:Καλησπέρα!Γιάννης Μπόρμπας έγραψε:Διαγώνισμα 15
Πρόβλημα 4
Ο μικρός Θανάσης μαζί με άλλους φίλους του παίζουν το εξής παιχνίδι.
Αρχικά κάθονται σε έναν κύκλο, με τον Θανάση να έχει πρώτος την μπάλα.
Από τους παίκτες στο σύνολο, οι από αυτούς είναι δυνατοί και οι αδύναμοι.
Σε κάθε κίνηση, ο παίκτης που έχει την μπάλα, πρέπει να την πασάρει σε άλλον παίκτη δεξιόστροφα ως εξής:
α) Αν ο παίκτης είναι αδύναμος, τότε πασάρει την μπάλα στον αμέσως επόμενό του.
β) Αν ο παίκτης είναι δυνατός, τότε πασάρει την μπάλα στον παραεπόμενό του, προσπερνώντας τον επόμενό του.
Το παιχνίδι τελειώνει, αν η μπάλα επιστρέψει στον Θανάση μετά από πεπερασμένο αριθμό πασών.
Ένα παιχνίδι θα λέγεται αν ακριβώς διαφορετικά άτομα δέχθηκαν τουλάχιστον 1 φορά την μπάλα.
1) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του
Αφού το παιχνίδι τελειώνει με την επιστροφή της μπάλας στον Θανάση και οι παίκτες είναι θα πρέπει η μπάλα να περάσει από χέρια. Ομως άρα η μπάλα πέρασε από ανθρώπους. Αν oι δυνατοί και οι αδύναμοι αντίστοιχα τότε το είναι ίσο με την μέγιστη τιμή του αθροίσματος . Αφού η μπάλα πέρασε από άτομα τα ικανοποιούν την . Αρα θέλουμε να έχουμε στο αριστερό μέλος το άθροισμα και στο δεξί μια παράσταση που περιέχει σε άθροισμα ή γινόμενο τα και τότε ξέρουμε ότι θα ισούται με . Γράφουμε λοιπόν την εξίσωση ως εξής: . Αρα . Ομως αν ο είναι περιττός θα έχουμε άτοπο από την . Αρα αν ο είναι περιττός. Συνεπώς:
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 5 επισκέπτες