Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Συντονιστής: polysot
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.
(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)
είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.
(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)
Γιώργος
Λέξεις Κλειδιά:
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Προς το παρόν αφήνω τις γραφικές παραστάσεις και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί.Γιώργος Απόκης έγραψε:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.
(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Καλημέρα Γιώργο!Γιώργος Απόκης έγραψε:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.
(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)
Πάμε τώρα στη λύση.
● Για κάθε με είναι άρα είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι
συνεχής στο θα έχει σύνολο τιμών Ομοίως αποδεικνύεται ότι η είναι συνεχής
και γνησίως αύξουσα και στο οπότε θα έχει σύνολο τιμών
Άρα η είναι σε καθένα από τα διαστήματα οπότε αντιστρέφεται και η αντίστροφη συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού σε κάθε κλάδο, το αντίστοιχο σύνολο τιμών της .
Θα βρούμε τώρα τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης.
● Έστω Τότε και
● Έστω Τότε και
Άρα τελικά,
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Καλημέρα σε όλους!
Έστω με .
Θα αποδείξουμε ότι .
Είναι .
Άρα, η είναι 1-1 στο διάστημα .
Όμοια αποδεικνύεται ότι η είναι 1-1 στο διάστημα .
Επιλέγουμε τώρα ένα και ένα και θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε .
Έστω ότι
Είναι , που είναι άτοπο.
Επομένως, δεν μπορούμε να έχουμε .
Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις η είναι 1-1.
Έστω τώρα πως .
Είναι και πρέπει .
Έτσι, .
Έστω τώρα .
Είναι
.
Έτσι, .
Τελικά, .
Συνοψίζοντας,
Έστω με .
Θα αποδείξουμε ότι .
Είναι .
Άρα, η είναι 1-1 στο διάστημα .
Όμοια αποδεικνύεται ότι η είναι 1-1 στο διάστημα .
Επιλέγουμε τώρα ένα και ένα και θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε .
Έστω ότι
Είναι , που είναι άτοπο.
Επομένως, δεν μπορούμε να έχουμε .
Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις η είναι 1-1.
Έστω τώρα πως .
Είναι και πρέπει .
Έτσι, .
Έστω τώρα .
Είναι
.
Έτσι, .
Τελικά, .
Συνοψίζοντας,
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Γιώργος Απόκης
- Διευθύνον Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 5092
- Εγγραφή: Δευ Μάιος 16, 2011 7:56 pm
- Τοποθεσία: Πάτρα
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Καλημέρα! Σας ευχαριστώ και τους τρεις για την ενασχόληση!
Γιώργος
Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Καλησπέρα. Θα ήθελα επισημάνω μόνο ότι δεν αρκεί για το 1-1 της συνάρτησης το ότι είναι 1-1 κατά κλάδους αλλά πρέπει να είναι 1-1 στο πεδίο
ορισμού της. Αυτό συμβαίνει στην συνάρτηση γιατί είναι 1-1 κατά κλάδο και επιπλέον τα σύνολα τιμών των δυο κλάδων δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Αν τα δυο σύνολα τιμών δεν είναι ξένα τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 ακόμη και αν είναι 1-1 σε κάθε κλάδο χωριστά.
ορισμού της. Αυτό συμβαίνει στην συνάρτηση γιατί είναι 1-1 κατά κλάδο και επιπλέον τα σύνολα τιμών των δυο κλάδων δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Αν τα δυο σύνολα τιμών δεν είναι ξένα τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 ακόμη και αν είναι 1-1 σε κάθε κλάδο χωριστά.
MARGK
- polysot
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2583
- Εγγραφή: Δευ Οκτ 19, 2009 11:43 pm
- Τοποθεσία: Όπου βρω ενδιαφέρουσες προσωπικότητες...
- Επικοινωνία:
Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου
Ο Ορέστης έχει αποδείξει και για τα διαφορετικά διάστηματα το 1-1 με πολύ ωραίο τρόπο.
Σωτήρης Δ. Χασάπης
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Ζήσε τα μαθηματικά σου!
-----------------------------
"There is a scientific taste just as there is a literary or artistic one", Renan
"The journey of a thousand miles begins with one step.", Lao Tzu
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες