Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Γιώργος Απόκης · #1

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^2+1,~~~~x\in[0,1]\\1+\sqrt{x+3},~x\in(1,6] \end{cases}}$

είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.

(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)

#2

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^2+1,~~~~x\in[0,1]\\1+\sqrt{x+3},~x\in(1,6] \end{cases}}$

είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.

(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)

: Αντίστροφη συνάρτησης.png (14.47 KiB) Προβλήθηκε 1857 φορές

Προς το παρόν αφήνω τις γραφικές παραστάσεις και θα επανέλθω αν δεν απαντηθεί.

#3

Γιώργος Απόκης έγραψε:Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\begin{cases}x^2+1,~~~~x\in[0,1]\\1+\sqrt{x+3},~x\in(1,6] \end{cases}}$

είναι "1-1" και να ορίσετε την αντίστροφή της.

(Γ Λυκείου - Μέχρι 2/8/17)

Καλημέρα Γιώργο!

Πάμε τώρα στη λύση.
● Για κάθε $x_1,x_2\in[0,1],$ με x_1<x_2

είναι

άρα είναι γνησίως αύξουσα και επειδή είναι

συνεχής στο [0,1]

θα έχει σύνολο τιμών [f(0), f(1)]=[1,2].

Ομοίως αποδεικνύεται ότι η

είναι συνεχής

και γνησίως αύξουσα και στο (1,6],

οπότε θα έχει σύνολο τιμών $\displaystyle{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x),f(6)} \right] = (3,4]}$

Άρα η

είναι

σε καθένα από τα διαστήματα [0,1],(1,6],

οπότε αντιστρέφεται και η αντίστροφη συνάρτηση θα έχει πεδίο ορισμού σε κάθε κλάδο, το αντίστοιχο σύνολο τιμών της

.

Θα βρούμε τώρα τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης.
● Έστω $y=f(x), x\in[0,1].$ Τότε $x=\sqrt{y-1}$ και $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x - 1} ,x \in [1,2]}$

● Έστω $y=f(x), x\in(1,6].$ Τότε x=(y-1)^2-3

και $\displaystyle{{f^{ - 1}}(x) = {x^2} - 2x - 2,x \in (3,4]}$

Άρα τελικά, $\boxed{{f^{ - 1}}(x) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x - 1,} x \in [1,2]\\ {x^2} - 2x - 2,x \in (3,4] \end{array} \right.}$

Ορέστης Λιγνός · #4

Καλημέρα σε όλους!

Έστω $x_1,x_2 \in [0,1]$ με f(x_1)=f(x_2)

.

Θα αποδείξουμε ότι x_1=x_2

.

Είναι $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1^2+1=x_2^2+1 \Rightarrow x_1^2=x_2^2 \mathop \Rightarrow \limits^{x_1,x_2>0} x_1=x_2$ .
Άρα, η f(x)

είναι 1-1 στο διάστημα [0,1]

.

Όμοια αποδεικνύεται ότι η f(x)

είναι 1-1 στο διάστημα (1,6]

.

Επιλέγουμε τώρα ένα $x_1 \in [0,1]$ και ένα $x_2 \in (1,6]$ και θα αποδείξουμε ότι δεν μπορούμε να έχουμε f(x_1)=f(x_2)

.

Έστω ότι f(x_1)=f(x_2)

Είναι $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1^2+1=1+\sqrt{x_2+3} \Rightarrow 1 \geqslant x_1^4=x_2+3 >4 \Rightarrow 1>4$ , που είναι άτοπο.

Επομένως, δεν μπορούμε να έχουμε

.

Έτσι, σε όλες τις περιπτώσεις η

είναι 1-1.

Έστω τώρα πως $f(x)=x^2+1, x \in [0,1]$ .

Είναι $y=x^2+1 \Rightarrow x^2=y-1, y \geqslant 1 \Rightarrow x=\sqrt{y-1}$ και πρέπει $\sqrt{y-1}=x \leqslant 1 \Rightarrow y \leqslant 2$ .

Έτσι, $\boxed{f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}, \, \, x \in [1,2]}$ .

Έστω τώρα $f(x)=\sqrt{x-3}+1, x \in (1,6]$ .

Είναι $y=\sqrt{x-3}+1 \Rightarrow \sqrt{x-3}=y-1, y \geqslant 1 \Rightarrow x=(y-1)^2+3 \Rightarrow$

$x=y^2-2y-2, x \in (1,6)$ .

Έτσι, $1<y^2-2y-2 \leqslant 6 \Rightarrow 3<y \leqslant 4$ .

Τελικά, $\boxed{f^{-1}(x)=x^2-2x-2, \,\, x \in (3,4]}$ .

Συνοψίζοντας, $\boxed{{f^{ - 1}}(x) = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt {x - 1,} \,\, x \in [1,2]\\ {x^2} - 2x - 2, \,\, x \in (3,4] \end{array} \right.}$

Γιώργος Απόκης · #5

Καλημέρα! Σας ευχαριστώ και τους τρεις για την ενασχόληση!

margk · #6

Καλησπέρα. Θα ήθελα επισημάνω μόνο ότι δεν αρκεί για το 1-1 της συνάρτησης το ότι είναι 1-1 κατά κλάδους αλλά πρέπει να είναι 1-1 στο πεδίο
ορισμού της. Αυτό συμβαίνει στην συνάρτηση γιατί είναι 1-1 κατά κλάδο και επιπλέον τα σύνολα τιμών των δυο κλάδων δεν έχουν κοινά στοιχεία.
Αν τα δυο σύνολα τιμών δεν είναι ξένα τότε η συνάρτηση δεν είναι 1-1 ακόμη και αν είναι 1-1 σε κάθε κλάδο χωριστά.

Ιστοσελίδα · #7

Ο Ορέστης έχει αποδείξει και για τα διαφορετικά διάστηματα το 1-1 με πολύ ωραίο τρόπο.

Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Re: Αντίστροφη σε συνάρτηση πολλαπλού τύπου

Μέλη σε σύνδεση