Γινόμενο από άθροισμα (ΓΕΩΜ)

KARKAR · #1

: Γινόμενο από άθροισμα.png (8.29 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Πάνω στο ημικύκλιο διαμέτρου AB=8

, εντοπίστε σημείο

, τέτοιο ώστε :

SA+SB=10 , ( SA < SB )

. Πόσο είναι τότε το γινόμενο $SA\cdot SB$ ;

Πώς θα κατασκευάζατε με κανόνα και διαβήτη το σημείο

; ( Μέχρι

)

Ορέστης Λιγνός · #2

Αν

, είναι $a^2+b^2=64, a+b=10 \Rightarrow (a+b)^2=100 \Rightarrow a^2+b^2+2ab=100$

$\Rightarrow 64+2ab=100 \Rightarrow \boxed{SA \cdot SB=18}$ .

Πάμε τώρα στην κατασκευή.

Θεωρούμε τον κύκλο (B,10)

.

Έστω ότι η μεσοκάθετος της

τέμνει το ημικύκλιο στο

. Προφανώς, $\widehat{AKB}=90^\circ, AK=KB$ .

Έστω ότι ο κύκλος (K,KA)

τέμνει τον (B,10)

στο

και η

το ημικύκλιο στο

.

Από επίκεντρη εγγεγραμμένη έχουμε $\widehat{ALB}=\dfrac{\widehat{AKB}}{2}=45^\circ$ , οπότε $\widehat{ALB}=45^\circ, \widehat{LSA}=90^\circ \Rightarrow SL=SA$ .

Άρα, $10=BL=BS+SL=AS+SB \Rightarrow AS+SB=10$ , οπότε προσδιορίσαμε το σημείο

.

: point.png (22.69 KiB) Προβλήθηκε 375 φορές

#3

Για την κατασκευή

: S and P.png (10.54 KiB) Προβλήθηκε 365 φορές

Φέρνω παράλληλη προς την

σε απόσταση ίση με $\dfrac{9}{4}$ που τέμνει το ημικύκλιο σε δύο σημεία. Το πλησιέστερο στο

είναι το ζητούμενο σημείο

Πράγματι, $\displaystyle{ab = 2Rh = 8 \cdot \frac{9}{4} = 18 \Leftrightarrow a + b = 10}$

Γινόμενο από άθροισμα (ΓΕΩΜ)

Γινόμενο από άθροισμα (ΓΕΩΜ)

Re: Γινόμενο από άθροισμα (ΓΕΩΜ)

Re: Γινόμενο από άθροισμα (ΓΕΩΜ)

Μέλη σε σύνδεση