Εύρεση πολυωνύμου

mathxl · #1

Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) ΄που ικανοποιούν την $P^{2}(x)-P(x^{2})=2x^{4},\forall x\in\mathbb{R}$
άλγεβρα β΄λυκείου μέχρι 8-4-2010

pavlos · #2

Εστω dimP(x)=k τοτε διαπιστωνουμε οτι dimP^2(x)=dimP(x^2)=2k
Επειδη η διαφορα τους ειναι πολυωνυμο 4ου βαθμου ειναι dimP^2(x)=dimP(x^2)=4 καθως τα δυο πολυωνυμα δεν ειναι δυνατον να εχουν ισους συντελεστες ωστε να αλληλοεξουδετερωνονται με την αφαιρεση (1)

Αρα dimP(x)=2
Eπομενως [ax^2 + bx + c]^2 - [ax^4 + bx^2 + c]=2x^4 με b=c=0 απο (1)
δηλαδη a^2x^4 - ax^4=2x^4 και με ισοτητα πολυωνυμων προκυπτει οτι a=2 η a=-1
Αρα τα ζητουμενα πολυωνυμα ειναι:P(x)=2x^2 η P(x)=-χ^2
mathxl δεχομαι τις παρατηρησεις σου
Παυλος

#3

pavlos έγραψε:Εστω dimP(x)=k τοτε διαπιστωνουμε οτι dimP^2(x)=dimP(x^2)=2k
Επειδη η διαφορα τους ειναι πολυωνυμο 4ου βαθμου ειναι dimP^2(x)=dimP(x^2)=4 καθως τα δυο πολυωνυμα δεν ειναι δυνατον να εχουν ισους συντελεστες ωστε να αλληλοεξουδετερωνονται με την αφαιρεση (1)

Αρα dimP(x)=2
Eπομενως [ax^2 + bx + c]^2 - [ax^4 + bx^2 + c]=2x^4 με b=c=0 απο (1)
δηλαδη a^2x^4 - ax^4=2x^4 και με ισοτητα πολυωνυμων προκυπτει οτι a=2 η a=-1
Αρα τα ζητουμενα πολυωνυμα ειναι:P(x)=2x^2 η P(x)=-χ^2
mathxl δεχομαι τις παρατηρησεις σου
Παυλος

Παύλο, προσοχή. Ο συλλογισμός σου είναι εσφαλμένος στα δύο σημεία που σημείωσα με κόκκινο. Μπορείς να δεις γιατί;

Ας προσθέσω ότι το πρόβλημα έχει και άλλη λύση, την P(x) = x^3 + x

. Το ερώτημα είναι πώς θα την βρούμε, μαζί με όσες άλλες υπάρχουν (αν υπάρχουν).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Djimmakos · #4

Για

στην αρχική σχέση λαμβάνουμε ότι

P^2(-x)-P(x^2)=2x^4

Αφαιρώντας λοιπόν την αρχική σχέση απ' αυτή έχουμε ότι

$P^2(x)-P^2(-x)=0\Leftrightarrow [P(x)-P(-x)][P(x)+P(-x)]=0$

oπότε

P(x)=P(-x)

ή

Έστω ότι

Απ' αυτή τη σχέση, λαμβάνουμε ότι οι συντελεστές των όρων με περιττό εκθέτη είναι 0, οπότε το πολυώνυμο έχει άρτιους εκθέτες, και από την αρχική σχέση, είναι δεύτερου βαθμού (χωρίς τον πρωτοβάθμιο παράγοντα, αλλά ούτε και τον σταθερό όρο).

Έτσι

P(x)=ax^2

Aπό την αρχική σχέση λαμβάνουμε ότι

$a^2x^4-2x^4-ax^2=0\Leftrightarrow x^4(a^2-a-2)=0$ απ' όπου λαμβάνουμε ότι α=2 ή α=-1

Oπότε P(x)=2x^2

και

Έστω ότι

Aπ' αυτή τη σχέση καταλαβαίνουμε ότι οι συντελεστές των όρων με άρτιο εκθέτη είναι μηδέν. Οπότε το πολυώνυμο έχει όρους με εκθέτες περιττούς αριθμούς. Τώρα αυτό που θα πω δεν είμαι 100% σίγουρος ότι είναι και η καλύτερη (και η πλέον σωστή) αιτιολόγηση γι' αυτό που θα χρησιμοποιήσω παρακάτω. Αν το P(x) έχει παραπάνω από τρεις όρους, τότε η διαφορά του 1ου μέλους θα έχει τουλάχιστον τρεις όρους, άτοπο, διότι στο δεύτερο μέλος έχουμε μόνο ένα όρο. Οπότε

P(x)=ax^3+bx

Από την αρχική σχέση έχουμε ότι
$ax^6+2abx^4+b^4x^2-ax^6-bx^2=2x^4\Leftrightarrow 2x^4(ab-1)+x^2(b^4-b)=0$ απ' όπου λαμβάνουμε ότι a=b=1

Οπότε
P(x)=x^3+x

Ανακεφαλαιώνοντας, τα ζητούμενα πολυώνυμα είναι τα

P(x)=2x^2

Eλπίζω να είμαι σωστός.

Κύριε Λάμπρου σας ευχαριστώ για την παρέμβασή σας γιατί χωρίς αυτή δε θα είχα σκεφτεί τη λύση.

#5

Πολύ ωραία, αλλά υπάρχουν μερικά λαθάκια. Είναι ενδιαφέρον να τα μελετήσεις γιατί έχεις να βγεις κερδισμένος.

Ας τα δούμε

Djimmakos έγραψε: <...> έχουμε ότι

$P^2(x)-P^2(-x)=0\Leftrightarrow [P(x)-P(-x)][P(x)+P(-x)]=0$

oπότε

ή

Προσοχή, δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα. Ενώ είναι αλήθεια ότι για κάθε x θα ισχύει

P(x)=P(-x) ή P(x)=-P(-x)

πρέπει τα τονιστεί ότι η μία ή η άλλη επιλογή εξαρτάται από το x. Παραδείγματος χάριν, τίποτα δεν μας εμποδίζει να ισχύει, ας πούμε,

P(1)=P(-1) αλλά και P(2)=-P(-2) (όχι P(2)=P(-2) ) ;

Δηλαδή, για χ=1 να έχουμε την μία επιλογή, ενώ για χ=2 την άλλη.

Djimmakos έγραψε:
Απ' αυτή τη σχέση, λαμβάνουμε ότι οι συντελεστές των όρων με περιττό εκθέτη είναι 0, οπότε το πολυώνυμο έχει άρτιους εκθέτες, και από την αρχική σχέση, είναι δεύτερου βαθμού (χωρίς τον πρωτοβάθμιο παράγοντα, αλλά ούτε και τον σταθερό όρο).

Όχι. Π.χ. μπορείς να ελέγξεις ότι η $x^4 + 1\,$ είναι λύση στο πρόβλημα.

Ελπίζω τα παραπάνω σου δίνουν τροφή για έρευνα. Όσο πιο πολύ μελετάς Μαθηματικά, τόσο περισσότερο φαίνονται οι ομορφιές στους.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

mathxl · #6

Καλημέρα. Τελικά η άσκηση δεν είναι μόνο για μαθητές, Η έκδοση "για μαθητές" θα έπρεπε να έλεγε, "να βρεθούν τα β΄βαθμού πολυώνυμα τέτοια ώστε κτλ"" Είχαν όμως πολύ ενδιαφέρον οι προσεγγίσεις των Παύλου, Δημήτρη(;). Νομίζω ότι μόνο κέρδισαν από την παρέμβαση του Μιχάλη.
Υπό αυτήν την συνθήκη, το αποτέλεσμα είναι αυτό που έδωσε ο Παύλος.
Στην περίπτωση που είναι deg[Px)]>=3 προκύπτει σύστημα συντελεστών (απόσο έχω δει). Το οποίο και αντιγράφω: εάν είναι $P(x) =\sum_{k = 0}^{n}{a_{k}x^{k}};\ n\ge 3;\ a_{n}\ne 0$ τότε
$P^{2}(x) =\sum_{i+j = 0}^{2n}{a_{i}a_{j}.x^{i+j}}$ και $P(x^{2}) =\sum_{k = 0}^{n}{a_{k}x^{2k}}\Rightarrow$
$\ P^{2}(x)-P(x^{2}) = (a_{n}^{2}-a_{n}).x^{2n}+2.a_{n}a_{n-1}.x^{2n-1}+\\ +(2.a_{n}a_{n-2}+a_{n-1}^{2}-a_{n-1}).x^{2(n-1)}+2.(a_{n}a_{n-3}+a_{n-1}a_{n-2}).x^{2n-3}+\\ +(2.a_{n}a_{n-4}+2.a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}-a_{n-2}).x^{2n-4}+\dots+\\ +( 2.a_{1}a_{3}+2.a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}-a_{2}).x^{4}+2.(a_{3}a_{0}+a_{2}a_{1}).x^{3}+(2.a_{2}a_{0}+a_{1}^{2}-a_{1})x^{2}+\\ +2a_{1}a_{0}x+(a_{0}^{2}-a_{0}) = 2x^{4};\ (\forall)x\in\mathbb{R}\Rightarrow$
$\Rightarrow a_{n}^{2}-a_{n}= a_{n}a_{n-1}= 2.a_{n}a_{n-2}+a_{n-1}^{2}-a_{n-1}= a_{n}a_{n-3}+a_{n-1}a_{n-2}=\\ = 2.a_{n}a_{n-4}+2.a_{n-1}a_{n-3}+a_{n-2}^{2}-a_{n-2}=\dots =\\ = a_{3}a_{0}+a_{2}a_{1}= 2.a_{2}a_{0}+a_{1}^{2}-a_{1}= a_{1}a_{0}= a_{0}^{2}-a_{0}= 0$
και $2.a_{1}a_{3}+2.a_{0}a_{4}+a_{2}^{2}-a_{2}= 2\Rightarrow\dots.$

Εύρεση πολυωνύμου

Εύρεση πολυωνύμου

Re: Εύρεση πολυωνύμου

Re: Εύρεση πολυωνύμου

Re: Εύρεση πολυωνύμου

Re: Εύρεση πολυωνύμου

Re: Εύρεση πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση