Εξίσωση

mathxl · #1

Μία ακόμη εξίσωση για την β' λυκείου άλγαβρα μέχρι 30-4-2010
Να λυθεί η $x^{2}+x-11+3\sqrt{x^{3}+8}=0$ στους πραγματικούς

Εδώ έχει μία άλυτη viewtopic.php?f=69&t=6393
και εδώ ακόμη μία viewtopic.php?f=69&t=6362

Stavroulitsa · #2

Καλησπέρα! Τώρα τελευταία δεν προλαβαίνω να απαντάω συχνά, ελπίζω να μην έχω λάθη...
$x^2+x-11+3\sqrt{x^3+8}=0\Leftrightarrow 3\sqrt{x^3+8}=11-x-x^2\Leftrightarrow \left( 3\sqrt{x^3+8} \right)^2=\left(11-x-x^2 \right)^2\Leftrightarrow x^4-7x^3-21x^2-22x+49=0$
Και χρησιμοποιώντας το σχήμα του Horner βρίσκουμε ότι x=1και το πολυώνυμο γίνεται $\left(x-1 \right)\left(x^3-6x^2-27x-49 \right)=0$ . Αλλά οι υπολοιποι διαιρέτες του 49 δεν ταιριάζουν...Δεν ξέρω αν γίνεται κάποια παραγοντοποίηση που δεν την πρόσεξα...
Ξέχασα να προσθέσω πριν, ότι από τους διαιρέτες του 49 που δοκιμάζουμε στο σχήμα του Horner αποκλείουμε κατ' ευθείαν το -49 και το -7, γιατί πρέπει $\sqrt{x^3+8}\geq 0\Leftrightarrow x^3+8\geq 0\Leftrightarrow x\geq- 2$ .

mathxl · #3

Σταυρουλίτσα
Τον περιορισμό που γράφεις στο τέλος τον παίρνουμε για να έχει νόημα η τετραγωνική ρίζα και αυτό αφορά την υπόριζο ποσότητα και όχι την τετραγωνική ρίζα

Stavroulitsa έγραψε: $\sqrt{x^3+8}\geq 0\Leftrightarrow x^3+8\geq 0\Leftrightarrow x\geq- 2$ .

Όταν υψώνουμε μέλη εξίσωσης στο τετράγωνο, προκύπτει ισοδύναμη εξίσωση όταν τα μέλη είναι ομόσημα, κατά συνέπεια οι ισοδυναμίες σου δεν ισχύουν.

Stavroulitsa έγραψε: $\Leftrightarrow \left( 3\sqrt{x^3+8} \right)^2=\left(11-x-x^2 \right)^2\Leftrightarrow x^4-7x^3-21x^2-22x+49=0$

όταν οι διαιρέτες του 49 δεν είναι ρίζες αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση είναι αδύνατη;
Stavroulitsa έγραψε: Αλλά οι υπολοιποι διαιρέτες του 49 δεν ταιριάζουν...Δεν ξέρω αν γίνεται κάποια παραγοντοποίηση που δεν την πρόσεξα...

Μία βοήθεια
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
αφού βρήκες μία λύση (το 1) μπορούμε να εμφανίσουμε το χ-1, σπάζοντας το -11 σε -9 +(-2)

mathxl · #4

Παραθέτω την ωραία λύση που είδα, γιατί η άσκηση ξεχάστηκε.
Η λύση και η άσκηση είναι από Ρουμάνο μαθητή

Με τον περιορισμό της Σταυρούλας, έχουμε
$(x^{2}+x-2)+3(\sqrt{x^{3}+8}-3) = 0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x-1)+\frac{{3(x^{3}-1)}}{{\sqrt{x^{3}+8}+9}}= 0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x-1)+\frac{{3(x-1)(x^{2}+x+1)}}{{\sqrt{x^{3}+8}+9}}= 0$
$\Leftrightarrow (x-1)\left({x+2+\frac{{3(x^{2}+x+1)}}{{\sqrt{x^{3}+8}+9}}}\right) = 0$
και λαμβάνοντας υπόψη ότι $x+2+\frac{{3(x^{2}+x+1)}}{{\sqrt{x^{3}+8}+9}}> 0,\forall x\ge-2.$
παίρνουμε την μοναδική δεκτή λύση χ=1

Εξίσωση

Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Re: Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση