Πολυωνυμική ανίσωση

#1

Δίδονται τα πολυώνυμα P(x),Q(x)

, με πραγματικούς συντελεστές, συντελεστή στο μεγιστοβάθμιο όρο τους 1 και βαθμών 6 και 2 αντιστοίχως. Αν 1) Υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί a,b

ώστε

ώστε τα

να είναι και τα δύο αρνητικά στο διάστημα (a,b)

, όπως και τα δύο μη αρνητικά εκτός του διαστήματος (a,b)

και 2) Το

διαιρεί το P(x)

Να βρείτε (συναρτήσει των a,b

) τα διαστήματα, στα οποία αληθεύει η ανίσωση P(x)<Q(x)

Μαθηματικά Γενικής παιδείας Β Λυκείου
Μέχρι 20/6
Φιλικά

Eukleidis · #2

Μιας και έχει περάσει η ημερομηνία θα μπορούσε να δωθεί λύση?

Χρήστος Λαζαρίδης · #3

Πολύ ωραία και πρωτότυπη άσκηση, Σπύρο.

Μιά που ο Eukleidis εξέφρασε την επιθυμία λύσης, κάνω μία προσπάθεια.

Γνωρίζοντας το πρόσημο του τριωνύμου Q(x) και τον βαθμό του, έχουμε, $Q(x)=x^{2}-(a+b)x+ab$

$P(x)=Q^{2}(x)r(x)$

Το πρόσημο του P(x) συμπίπτει με το πρόσημο του r(x), το οποίo είναι επίσης τριώνυμο με συντελεστή του $x^{2}$ το 1 ώστε το P(x) να έχει επίσης συντελεστή 1, άρα, r(x)=Q(x)

$P(x)=Q^{3}(x)=\left(x^{2}-(a+b)x+ab \right)^{3}$

$P(x)<Q}(x)\Leftrightarrow$

$\left(x^{2}-(a+b)x+ab \right)\left(x^{2}-(a+b)x+ab-1 \right)\right)\left(x^{2}-(a+b)x+ab+1 \right)<0$

Το δεύτερο τριώνυμο έχει διακρίνουσα $\Delta =(a-b)^{2}-4<0$ , άρα είναι μόνιμα θετικό.

Το πρώτο τριώνυμο έχει ρίζες, $\frac{a+b\pm\sqrt{(a-b)^{2}+4}}{2}$

Ισχύει: $\frac{a+b-\sqrt{(a-b)^{2}+4}}{2}<a<b<\frac{a+b+ \sqrt{(a-b)^{2}+4}}{2}$

Με πινακάκι, καταλήγουμε, $\frac{a+b-\sqrt{(a-b)^{2}+4}}{2}<x<a$ ή

$b<x<\frac{a+b+\sqrt{(a-b)^{2}+4}}{2}$

Φιλικά Χρήστος

Eukleidis · #4

Σας ευχαριστώ για τη λύση.
Φιλικά

#5

Χρήστο σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και την ωραία λύση. Την άσκηση κατασκεύασα, παίρνοντας αφορμή από μία άσκηση για την προετοιμασία της Ολυμπιακής Ομάδας της Ινδίας
Φιλικά

Πολυωνυμική ανίσωση

Πολυωνυμική ανίσωση

Re: Πολυωνυμική ανίσωση

Re: Πολυωνυμική ανίσωση

Re: Πολυωνυμική ανίσωση

Re: Πολυωνυμική ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση