Ιδιότητα συνάρτησης

#1

Αν $a\neq 0$ και η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ έχει την ιδιότητα $f(ax^2+bx+c)=3f^2(x)+2, \forall x \in \mathbb{R}$ , να αποδείξετε ότι ac>0

Άλγεβρα Α Λυκείου
Μέχρι 5/7

Eukleidis · #2

Έστω ότι $\displaystyle{ac \leqslant 0}$ .
Αν $\displaystyle{ac = 0 \Leftrightarrow c = 0}$ αφού α διαφορο του 0. Τότε $\displaystyle{f\left( {a{x^2} + bx} \right) = 3{f^2}\left( x \right) + 2}$ οπου θέτοντας χ=0 προκύπτει άτοπο.
Αν $\displaystyle{ac < 0}$ τότε έχουμε διακρίνουσα θετική οπότε έχουμε δύο ρίζες πραγματικές και άνισες έστω ρ1 και ρ2. Θέτοντας όπου χ το ρ1 και ρ2 αντίστοιχα παίρνουμε ότι f^2(ρ1)=f^2(ρ2)
Μετά κολλάω λίγο.

#3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

Παρ'όλο που ο Socrates έδωσε τη σωστή υπόδειξη δεν είδαμε λύση. Μάλλον θα ξεχάστηκε.
Το $ac\leq 0$ σημαίνει ότι η εξίσωση ax^2+bx+c=0

έχει πραγματικές ρίζες. Αλλά αυτό δεν μας βοηθάει. Όμως μπορούμε να βρούμε και άλλες εξισώσεις από την ax^2+bx+c=0

που έχουν πραγματικές ρίζες. Μία που βολεύει είναι η ax^2+bx+c=x

ή

.Βολεύει γιατί σημαίνει ότι υπάρχει $x_0 \in \mathbb{R}$ ώστε ax_0^2+bx_0+c=x_0

. Αν στην αρχική σχέση θέσουμε όπου

το

, βρίσκουμε 3f^2(x_0)-f(x_0)+2=0

, άτοπο, γιατί D=-23

Άρα

Ιδιότητα συνάρτησης

Ιδιότητα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα συνάρτησης

Re: Ιδιότητα συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση