Ρίζες Πολυωνύμου

chris · #1

Το πολυώνυμο 4x^4-ax^3+bx^2-cx+5

έχει τέσσερις θετικές πραγματικές ρίζες $r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle \frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}=1$ .
Να βρεθούν οι ρίζες αυτού του πολυωνύμου.

kwstas12345 · #2

Xρήστο ωραία άσκηση,

Λοιπόν από τους τύπους Vieta το γινόμενο των ριζών θα είναι:

$\prod_{j=1}^{4}{r_{j}}=\left(-1 \right)^{4}\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$

Aπό την ΑΜ-ΓΜ:

$\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}\geq 4\sqrt[4]{\frac{\prod_{j=1}^{4}{r_{j}}}{2.4.5.8}}=4\sqrt[4]{\frac{1}{4^{4}}}=\frac{4}{4}=1$

Oμως:

$\frac{r_{1}}{2}+\frac{r_{2}}{4}+\frac{r_{3}}{5}+\frac{r_{4}}{8}=1$

Άρα ισχύει η ισότητα $\frac{r_{1}}{2}=\frac{r_{2}}{4}=\frac{r_{3}}{5}=\frac{r_{4}}{8}$

Σε συνδυασμό με την παραπάνω και τον τυπο του Vieta: $r_{1}=\frac{1}{2}$

και έπειτα βρίσκω: $\left(r_{1},r_{2} ,r_{3},r_{4}\right)=\left(\frac{1}{2} ,1,\frac{5}{4},2\right)$

Ρίζες Πολυωνύμου

Ρίζες Πολυωνύμου

Re: Ρίζες Πολυωνύμου

Μέλη σε σύνδεση