Το αδύνατο της τριχοτόμησης τυχαίας γωνίας

[Mihalis_Lambrou]

Υπάρχουν σήμερα διάφορες αποδείξεις του αδυνάτου της τριχοτόμησης τυχαίας γωνίας με κανόνα και διαβήτη, πέρα από την αρχική του Wantzel το 1837.

Οι αποδείξεις αυτές διδάσκονται σε όλα τα Μαθηματικά Τμήματα του κόσμου αλλά απαιτούν καλό Μαθηματικό υπόβαθρο, γι' αυτό παραδίνονται σε προχωρημένα μαθήματα αφηρημένης Άλγεβρας, σε μεγάλα εξάμηνα σπουδών. Οι εν λόγω αποδείξεις δεν είναι κατανοητές από πολλούς, πράγμα που εξηγεί γιατί, δυστυχώς, εμφανίζονται κατά καιρούς διάφοροι που ισχυρίζονται ότι κατάφεραν την εν λόγω τριχοτόμηση. Η παραπομπή των επίδοξων τριχοτόμων σε έγκυρη βιβλιογραφία σχεδόν πάντα αποβαίνει μάταια. Μονόλογος.

Ευτυχώς υπάρχουν μερικές πιο προσιτές αποδείξεις, όπως αυτή (στα Αγγλικά)

εδώ

Προειδοποιώ όμως ότι ούτε αυτή είναι ιδιαίτερα απλή, και απαιτεί σχετικό Μαθηματικό υπόβαθρο, αλλά τουλάχιστον είναι προσιτή σε όποιον έχει την υπομονή και τις προαπαιτούμενες γνώσεις, να την μελετήσει.

Αργότερα θα δώσω και ελληνική παραπομπή (όμως πιο δύσκολη όμως από την παραπάνω) από Πανεπιστημιακή διδασκαλία του θέματος, σε ένα έξοχο βιβλίο ανοικτής πρόσβασης (Open source).

Αν θέλετε το αρχικό άρθρο του Wantzel (στα Γαλλικά) είναι το

Wantzel, P M L (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 serie, 2 tome (1837) 366–372.

και μπορείτε να το βρείτε εδώ

[Mihalis_Lambrou]

Αργότερα θα δώσω και ελληνική παραπομπή (όμως πιο δύσκολη όμως από την παραπάνω) από Πανεπιστημιακή διδασκαλία του θέματος, σε ένα έξοχο βιβλίο ανοικτής πρόσβασης (Open source).

Επισυνάπτω την παραπομπή στο βιβλίο που αναφέρθηκα, εδώ. Συγγραφέας είναι ο Νίκος Μαρμαρίδης ο οποίος ήταν Καθηγητής, συνταξιούχος σήμερα (και Ομότιμος), στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Πρόκειται για πάρα πολύ ωραία γραμμένο βιβλίο Θεωρίας Galois, που κτίζει την θεωρία εξ αρχής. Επισημαίνω όμως ότι είναι αρκετά απαιτητικό (όπως όλα τα αντίστοιχα βιβλία στο θέμα) γιατί προϋποθέτει καλό Μαθηματικό υπόβαθρο. Tο σχετικό κεφάλαιο είναι το , σελίδες 473-497.

Αν θέλετε μόνο το Κεφάλαιο 12 του βιβλίου, μπορείτε να το καταβάσετε από εδώ.

[stranger]

Αργότερα θα δώσω και ελληνική παραπομπή (όμως πιο δύσκολη όμως από την παραπάνω) από Πανεπιστημιακή διδασκαλία του θέματος, σε ένα έξοχο βιβλίο ανοικτής πρόσβασης (Open source).

Επισυνάπτω την παραπομπή στο βιβλίο που αναφέρθηκα, εδώ. Συγγραφέας είναι ο Νίκος Μαρμαρίδης ο οποίος ήταν Καθηγητής, συνταξιούχος σήμερα (και Ομότιμος), στο Τμήμα Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Ιωαννίνων.

Πρόκειται για πάρα πολύ ωραία γραμμένο βιβλίο Θεωρίας Galois, που κτίζει την θεωρία εξ αρχής. Επισημαίνω όμως ότι είναι αρκετά απαιτητικό (όπως όλα τα αντίστοιχα βιβλία στο θέμα) γιατί προϋποθέτει καλό Μαθηματικό υπόβαθρο. Tο σχετικό κεφάλαιο είναι το , σελίδες 473-497.

Αν θέλετε μόνο το Κεφάλαιο 12 του βιβλίου, μπορείτε να το καταβάσετε από εδώ.

Ένα ωραίο βιβλίο που αναφέρεται εκτενώς στα θέματα αυτά είναι το Galois Theory του Stewart. Πολύ όμορφο βιβλίο.
Το υλικό αυτό βρίσκεται στο κεφάλαιο 7 σελ.87-107
Στο κεφάλαιο 20 σελ.227-243 υπάρχει υλικό για τις κατασκευές κανονικών πολυγώνων καθώς και το περίφημο θεώρημα του Gauss για τα κατασκευάσιμα πολύγωνα, μια ιδέα που συνδέεται με τους πρώτους του Fermat.
Ας σημειωθεί ότι ο Gauss αποφάσισε να γίνει μαθηματικός όταν κατασκεύασε με κανόνα και διαβήτη το κανονικό 17-γωνο περίπου στα 20 του χρόνια.

[Mihalis_Lambrou]

Ένα ωραίο βιβλίο που αναφέρεται εκτενώς στα θέματα αυτά είναι το Galois Theory του Stewart. Πολύ όμορφο βιβλίο.
Το υλικό αυτό βρίσκεται στο κεφάλαιο 7 σελ.87-107

Πραγματικά είναι εξαιρετικό το βιβλίο του Ian Stewart, γνωστού άλλωστε και πολυβραβευμένου συγγραφέα. Πολύ ελκυστικό και το πρώτο κεφάλαιο με την ιστορίας του θέματος.

Ας κλείσω με την επισήμανση ότι στην σελίδα , μετά την απόδειξη του θεωρήματος Wantzel με το αδύνατο της τριχοτήμησης τυχούσας γωνίας, έχει το εξής σχόλιο (μεταφράζω)

Σε αυτό το σημείο ας πω δυο λόγια για να εφιστήσω την προσοχή των επόδοξων τριχοτόμων, οι οποίοι συχνά έχουν ακουστά την ύπαρξη της απόδειξης του αδυνάτου κατά Wantzel αλλά, παρά ταύτα, φαντάζονται ότι μπορούν να επιτύχουν την τριχοτόμηση ερήμην του εν λόγω αποτελέσματος (Dudley, 1987). Εάν κάποιος ισχυριστεί ότι κατάφερε την τριχοτόμηση γενικής γωνίας χρησιμοποιώντας κανόνα και διαβήτη ακολουθώντας τις ισχύουσες συμβάσεις (όπως τα περί χρήσης κανόνα χωρίς διαβαθμίσεις), τότε κατά μείζονα λόγο ισχυρίζεται ότι τριχοτόμησε την γωνία π/3. Η προαναφερθείσα απόδειξη δείχνει ότι, κατά τεκμήριο, ισχυρίζεται ότι το 3 είναι δύναμη του 2. Ειδικότερα, αφού , ισχυρίζεται ότι το 3 είναι άρτιος αριθμός.
Επιθυμεί πραγματικά να τον καταγράψει η ιστορία ως κάποιον ο οποίος έχει την πεποίθηση ότι το έχει αποδείξει αυτό;

[mick7]

Δεν ξέρω αν έχει αναφερθεί στην συζήτηση αλλά υπάρχει το παρακάτω βιβλίο του Dudley που αναφέρεται στις προσπάθειες τριχοτόμησης της γωνίας.