Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

paulgai · #1

Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει αύξουσα $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με υπεραριθμήσιμου πλήθους ασυνέχειες.

#2

To έχουμε ξαναδεί το θέμα σε μία πιό γενική μορφή:
viewtopic.php?f=9&t=444
Αναφέρω μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση:

'Εστω

ένα σημείο ασυνεχείας. Από τη μονοτονία της

έχουμε ότι τα πλευρικά όρια της

στο

υπάρχουν (είναι τα $m_{a}=\sup f\left( \left( -\infty ,a\right) \right)$ και $M_{a}=\inf f\left( \left( a,+\infty \right) \right)$ . Από την ασυνέχεια ένα τουλάχιστον θα είναι διαφορετικό από το f(a)

. Επομένως το σύνολο τιμών της

δεν θα περιέχει κάποιο διάστημα από τα $\left( m_{a},f\left( x_{0}\right) \right) ,\,\ \ \left( f\left( x_{0}\right) ,M_{a}\right)$ . Ας το πούμε αυτό το διάστημα I_a

. Eιναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι αν

είναι ένα άλλο σημείο ασυνεχείας της

με

τότε και $I_{a}\prec I_{b}$ με την έννοια ότι κάθε στοιχείο του πρώτου διαστήματος είναι μικρότερο από κάποιο στοιχείο του δεύτερου. Τα διαστήματα $I_{a}$ λοιπόν είναι διακεκριμένα. Κάθε ένα περιέχει ένα τουλάχιστον ρητό. Επιλέγουμε ένα από κάθε διάστημα. Οι ρητοί αυτοί θα ήσαν διαφορετικοί αφού ανήκουν σε ξένα διαστήματα. Αν λοιπόν είχαμε υπερ-αριθμήσιμο σύνολο σημείων ασυνεχείας θα είχαμε υπερ-αριθμήσιμο πλήθος διαστημάτων $I_{a}$ και υπεραριθμήσιμο σύνολο ρητών (άτοπο).

Μαυρογιάννης

paulgai · #3

Σωστή προσέγγιση!

nsmavrogiannis έγραψε:To έχουμε ξαναδεί το θέμα σε μία πιό γενική μορφή:
viewtopic.php?f=9&t=444

Sorry!! δεν είχε πέσει στην αντίληψή μου.

Ωmega Man · #4

Μια γενίκευση του παραπάνω είναι η εξής:
Αν $f:R\longmapsto R$ είναι γνησίως μονότονη, τότε το σύνολο των σημείων στα οποία η

είναι ασυνεχής, είναι ή κενό ή αριθμήσιμο ή απείρως αριθμήσιμο.

Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

Re: Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

Re: Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

Re: Αύξουσα και ασυνεχής συνάρτηση.

Μέλη σε σύνδεση