Όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt[{{2^n}}]{{{n^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \\ \end{array}} \right)}} \cdot {{\left( {n + 1} \right)}^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \\ \end{array}} \right)}} \cdot {{\left( {n + 2} \right)}^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \\ \end{array}} \right)}} \cdot \cdot \cdot {{\left( {2n} \right)}^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ n \\ \end{array}} \right)}}}}}}{n}$

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίσετε το όριο

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt[{{2^n}}]{{{n^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 0 \\ \end{array}} \right)}} \cdot {{\left( {n + 1} \right)}^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 1 \\ \end{array}} \right)}} \cdot {{\left( {n + 2} \right)}^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ 2 \\ \end{array}} \right)}} \cdot \cdot \cdot {{\left( {2n} \right)}^{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} n \\ n \\ \end{array}} \right)}}}}}}{n}$

Απάντηση: 3/2.
Γράφω μόνο τα βήματα γιατί οι παραστάσεις είναι τεράστιες.

α) Βρίσκουμε πρώτα το αντίστοιχο όριο με Αριθμητικό μέσο, και χρησιμοποιούμε γνωστό θεώρημα που λέει ότι ο Γεωμετρικός μέσος έχει το ίδιο όριο.

β) Γράφοντας τους παράγοντες σε αναλυμένη μορφή (δηλαδή α.α.α...α αντί α^ν)
έχουμε
$\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix} = 2^n$

όρους. Το εμφανιζόμενο άθροισμα είναι

$n\begin{pmatrix} n\\ 0 \end{pmatrix} + (n+1)\begin{pmatrix} n\\ 1 \end{pmatrix} + ... + (n+n)\begin{pmatrix} n\\ n \end{pmatrix}$

γ) υπολογίζουμε τώρα το άθροισμα ως εξής.
Το γράφουμε ανάποδα, από το τέλος προς την αρχή. Προσθέτουμε κατά μέλη και χρησιμοποιώντας την

$\begin{pmatrix} n\\ n-k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} n\\ k \end{pmatrix}$
παίρνουμε 3n φορές το πρώτο άθροισμα στο (β). Θα χρειαστεί να διαιρέσουμε δια 2 (λόγω της πρόσθεσης κατά μέλη) .

δ) Είναι λοιπόν το τελικό ζητούμενο άθροισμα ίσο με $\frac{\frac{1}{2}(3n) \cdot 2^n}{n2^n} = 3/2$ .

Αυτά.

Ελπίζω να μην μου ξέφυγε καμιά σταθερά, αλλά η ουσία δεν αλλάζει.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

(διόρθωσα το λογιστικό σφάλμα 2n ----> 3n)

#3

Μιχάλη, νομίζω πως έλυσες διαφορετικό πρόβλημα. Νομίζω πως η παράσταση είναι

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[2^n]{n^{\binom{n}{0}}(n+1)^{\binom{n}{1}} \cdots (n+n)^{\binom{n}{n}}}}{n}.$

Η απάντηση μου για αυτό το ερώτημα είναι 3/2.

mathxl · #4

Μχμχμ το μάθταιπ δυστυχώς δεν κάνει ευδιάκριτη την παράσταση. Πρόκειται για γινόμενο δυνάμεων στο υπόριζο όπως πιο ευδιάκριτα το έχει γράψει ο Δημήτρης

#5

Demetres έγραψε:Μιχάλη, νομίζω πως έλυσες διαφορετικό πρόβλημα. Νομίζω πως η παράσταση είναι

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[2^n]{n^{\binom{n}{0}}(n+1)^{\binom{n}{1}} \cdots (n+n)^{\binom{n}{n}}}}{n}.$

Η απάντηση μου για αυτό το ερώτημα είναι 3/2.

Δημήτρη,

σωστά κατάλαβα την άσκηση. Την σωστή έλυσα, αλλά έκανα μικρό λογιστικό σφάλμα. Είπα n + 2n = 2n στην πρόσθεση κατά μέλη. Τώρα το έφτιαξα.

Ευχαριστώ.

Φιλικά,

Μιχάλης.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Demetres έγραψε:Μιχάλη, νομίζω πως έλυσες διαφορετικό πρόβλημα. Νομίζω πως η παράσταση είναι

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[2^n]{n^{\binom{n}{0}}(n+1)^{\binom{n}{1}} \cdots (n+n)^{\binom{n}{n}}}}{n}.$

Η απάντηση μου για αυτό το ερώτημα είναι 3/2.
Δημήτρη,

σωστά κατάλαβα την άσκηση. Την σωστή έλυσα, αλλά έκανα μικρό λογιστικό σφάλμα. Είπα n + 2n = 2n στην πρόσθεση κατά μέλη. Τώρα το έφτιαξα.

Ευχαριστώ.

Φιλικά,

Μιχάλης.

Μπερδεύτηκα και εγώ. Είχα λύσει την άσκηση πιο πριν και νόμισα πως η διαφορά στην απάντηση ήταν λόγω ερμηνείας.

Δίνω και εγώ την δική μου λύση: Η παράσταση ισούται με

$\displaystyle{ \exp{ \left(\frac{\binom{n}{0}\log{1} + \binom{n}{1}\log{(1+1/n)} + \cdots + \binom{n}{n}\log{2}} {2^n} \right)}}$

Γνωρίζουμε ότι $\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n$ . Ισχύει όμως και κάτι άλλο: Οι πρώτοι $n/2 - C\sqrt{n}$ και οι τελευταίοι $n/2 - C\sqrt{n}$ όροι δεν συνεισφέρουν σχεδόν τίποτα στο άθροισμα. Πιο συγκεκριμένα: Για κάθε $\varepsilon > 0$ υπάρχει C > 0

ώστε $\displaystyle \sum_{k=n/2-C\sqrt{n}}^{n/2+C\sqrt{n}} \binom{n}{k} \geqslant (1-\varepsilon)2^n$ . Αυτό σχετίζεται με την προσέγγιση της διωνυμικής κατανομής από την κανονική κατανομή. (Αν ρίξουμε ένα νόμισμα

φορές η διαφορά μεταξύ τους πόσες φορές έπεσε κορώνα και πόσες γράμματα είναι με πολύ μεγάλη πιθανότητα το πολύ $C\sqrt{n}$ .)

Τα υπόλοιπα τώρα είναι εύκολα (αλλά θέλουν πράξεις) αφού οι συντελεστές που μας ενδιαφέρουν πολλαπλασιάζονται με $\log(3/2)$ (περίπου).

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση