Όριο

mathxl · #1

Να υπολογίσετε το όριο
$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \int\limits_n^{n + 1} {\left( {{x^2}\sin \frac{1}{x} - \alpha x} \right)dx} ,\alpha \in R$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ωmega Man · #2

Το έφραξα κατά απόλυτη τιμή και πήρα ότι,
$\displaystyle \left|\int_{n}^{n+1} x^2 sin(1/x)-ax\;\textrm{d}x\right|\leq (n+1)^2(a+1)$ καθώς λοιπόν
$n\rightarrow \infty$ σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα μας κάνει $signum(a+1)\cdot \infty$ .

#3

Mancar Camoran έγραψε:Το έφραξα κατά απόλυτη τιμή και πήρα ότι,
$\displaystyle \left|\int_{n}^{n+1} x^2 sin(1/x)-ax\;\textrm{d}x\right|\leq (n+1)^2(a+1)$ καθώς λοιπόν
$n\rightarrow \infty$ σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα μας κάνει $signum(a+1)\cdot \infty$ .

Νομίζω ότι κάτι δεν πάει καλά. Για $\alpha=1$ είναι $\Big|\displaystyle\int_{n}^{n+1}x^{2}\sin\frac{1}{x}-x\,dx\Big|<\big((n+1)-n\big)(n^{2}\sin\frac{1}{n}-n)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$ .

Ωmega Man · #4

Τώρα είδα τη δημοσίευσή σου Αναστάσιε, νομίζω όμως ότι αυτό που γράφεις είναι ειδική περίπτωση. Ξέχασα να το αναφέρω παραπάνω. Μόνο για το α=1 το όριο πάει στο 0.

#5

Για $\alpha=1$ είναι $\displaystyle f_{1}(x):=x^{2}\sin\frac{1}{x}-x=\frac{\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

Άρα $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_{1}(x)\stackrel{y:=\frac{1}{x}}{=}\lim_{y\to0^{+}}\frac{sin y-y}{y^{2}}=0$ , συνεπώς

$0\leq\Big|\displaystyle\int_{n}^{n+1}f_{1}(x)\,dx\Big|\leq\int_{n}^{n+1}|f_{1}(x)|\,dx\leq\max_{x\in[n,n+1]}|f_{1}(x)|\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$ , άρα

$\displaystyle\int_{n}^{n+1}f_{1}(x)\,dx\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$ .

$\bullet$ Αν $\alpha<1$ , τότε $\displaystyle\lim _{x\to+\infty}f{'}_{\alpha}(x)\stackrel{y:=\frac{1}{x}}{=}\lim_{y\to0^{+}}2\frac{\sin y}{y}-\cos y-\alpha=1-\alpha>0$ ,

άρα υπάρχει $x_{0}>0$ με $x>x_{0}\Rightarrow f{'}(x)>0$ , άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[x_{0},+\infty)$ .

Επειδή επιπλέον $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f_{\alpha}(x)\stackrel{y=\frac{1}{x}}{=}\lim_{y\to0^{+}}\frac{\sin y-\alpha y}{y^{2}}\stackrel{DLH}{=}\frac{1}{2}\big(\frac{\cos y-1}{y}+\frac{1-\alpha}{y}\big)=+\infty$ , έπεται ότι

για $n\geq x_{0}$ είναι $\displaystyle\int_{n}^{n+1}f_{\alpha}(x)\,dx\Big\geq\big((n+1)-n\big)f_{\alpha}(n)\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty$ .

$\bullet$ Αν $\alpha>1$ , όμοια δείχνουμε ότι $\displaystyle\int_{n}^{n+1}f_{\alpha}(x)\,dx\stackrel{n\to+\infty}{\longrightarrow}-\infty$

Ωmega Man · #6

Ναι πολύ σωστά τώρα που το ξαναείδα κάπου έκανα λάθος έπρεπε να το βγάλω $signum(1-a)\infty$ . Καλό βράδυ.

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση