Επαναλαμβανόμενες ρίζες

#1

Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + ...\sqrt {1 + \left( {n - 1} \right)\sqrt {1 + n} } } } } }$

#2

Το παρακάτω όριο είναι ειδικότερο της παρακάτω άσκησης (που οφείλεται στον Ramanujan):

Να βρεθεί απλούστερος τύπος για τη συνάρτηση

$f(x)=\sqrt {1 + x\sqrt {1 + (x+1)\sqrt {1 + (x+2)\sqrt{ ...} }}}$ με $x\in[1,+\infty)$ .

Η απάντηση είναι f(x)=x+1

, οπότε για την ειδική περίπτωση του Χρήστου η απάντηση είναι 3.

Αν δεν υπάρξει απάντηση (νομίζω ότι είναι πολύ ενδιαφέρον αποτέλεσμα για κάποιο που δε το γνωρίζει) θα βάλω αύριο (ή αργότερα) μία.

Αλέξανδρος

Προσθέτω μία υπόδειξη:

Η παραπάνω συνάρτηση ικανοποιεί τη σχέση $f(x)=\sqrt{1+xf(x+1)}, \ \ x\in[1,\infty)$ και την

$\displaystyle\frac{x+1}{2}\leq f(x)\leq 2(x+1) \ \ x\in[1,\infty)$

Να δείξετε τώρα ότι η συνάρτηση που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες με $x\geq 1$ είναι η f(x)=x+1

.

#3

Φυσικά θα πρέπει να δείξει κανείς ότι ο παραπάνω τύπος ορίζει συνάρτηση για κάθε $x\in[1,+\infty)$ , δηλαδή ότι για κάθε $x\in[1,+\infty)$ έχω σύγκλιση της ακολουθίας των ριζικών κάτι σχετικό υπάρχει εδώ

Επίσης American Mathematical Monthly - Vol. 42 No. 7 Aug.-Sept. 1935 pp. 419

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Φυσικά θα πρέπει να δείξει κανείς ότι ο παραπάνω τύπος ορίζει συνάρτηση για κάθε $x\in[1,+\infty)$ , δηλαδή ότι για κάθε $x\in[1,+\infty)$ έχω σύγκλιση της ακολουθίας των ριζικών κάτι σχετικό υπάρχει εδώ

Επίσης American Mathematical Monthly - Vol. 42 No. 7 Aug.-Sept. 1935 pp. 419

Αναστάση έχεις απόλυτο δίκιο!! Μάλιστα η σύγκλιση αυτής της ακολουθίας είναι αρκετά επίπονη (αλλά επιβεβλημένη) διαδικασία! Ευχαριστώ πολύ!

Αλέξανδρος

#5

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Φυσικά θα πρέπει να δείξει κανείς ότι ο παραπάνω τύπος ορίζει συνάρτηση για κάθε $x\in[1,+\infty)$ , δηλαδή ότι για κάθε $x\in[1,+\infty)$ έχω σύγκλιση της ακολουθίας των ριζικών κάτι σχετικό υπάρχει εδώ

Επίσης American Mathematical Monthly - Vol. 42 No. 7 Aug.-Sept. 1935 pp. 419

Και εδώ

#6

chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + ...\sqrt {1 + \left( {n - 1} \right)\sqrt {1 + n} } } } } }$

Όπως υποσχέθηκα σε άλλο ποστ, επισυνάπτω δύο διαφορετικές λύσεις σε άσκηση στο CRUX πριν από 12 χρόνια.

Η αρχική άσκηση είναι η εύρεση του ορίου

$\displaystyle{ \mathop { \sqrt {4 + 27\sqrt {4 + 29\sqrt {4 + 31\sqrt {4 + ... } } } } }$

Δίνω γενικότερα το όριο

$\displaystyle{ \mathop { \sqrt {4 + (2n+1)\sqrt {4 + (2n+3)\sqrt {4 + (2n+5)\sqrt {4 + ... } } } } }$

Αλλά όπως γράφω στο τέλος, η ίδια ακριβώς τεχνική δίνει

$\displaystyle{ \mathop {\sqrt {A^2 + (Ax+1)\sqrt {A^2 + (Ax + A +1)\sqrt {A^2 + (Ax + 2A+1)\sqrt {A^2 + ... } } } } = Ax + A + 1 }$

που για Α = 1, x =1 είναι η περίπτωση της άσκησης του Χρήστου.

Επίσης η ίδια τεχνική δίνει και ισότητες όπως π.χ.

$\displaystyle{ \mathop { \sqrt [3] {3 + 2\cdot3\sqrt [3]{4 + 3\cdot4\sqrt [3]{5 + 4\cdot5\sqrt[3] {6 + ... } } } } } = 3$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

kalafatis_kon · #7

ΜΙΧΑΛΗ ΝΑ ΣΕ ΚΑΛΑ ΝΑ ΜΑΣ ΤΡΟΦΟΔΟΤΕΙΣ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΓΙΑ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

Ιστοσελίδα · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε:
chris_gatos έγραψε:Να υπολογίσετε το παρακάτω όριο:

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt {1 + 2\sqrt {1 + 3\sqrt {1 + ...\sqrt {1 + \left( {n - 1} \right)\sqrt {1 + n} } } } } }$

Όπως υποσχέθηκα σε άλλο ποστ, επισυνάπτω δύο διαφορετικές λύσεις σε άσκηση στο CRUX πριν από 12 χρόνια.

Η αρχική άσκηση είναι η εύρεση του ορίου

$\displaystyle{ \mathop { \sqrt {4 + 27\sqrt {4 + 29\sqrt {4 + 31\sqrt {4 + ... } } } } }$

Δίνω γενικότερα το όριο

$\displaystyle{ \mathop { \sqrt {4 + (2n+1)\sqrt {4 + (2n+3)\sqrt {4 + (2n+5)\sqrt {4 + ... } } } } }$

Αλλά όπως γράφω στο τέλος, η ίδια ακριβώς τεχνική δίνει

$\displaystyle{ \mathop {\sqrt {A^2 + (Ax+1)\sqrt {A^2 + (Ax + A +1)\sqrt {A^2 + (Ax + 2A+1)\sqrt {A^2 + ... } } } } = Ax + A + 1 }$

που για Α = 1, x =1 είναι η περίπτωση της άσκησης του Χρήστου.

Επίσης η ίδια τεχνική δίνει και ισότητες όπως π.χ.

$\displaystyle{ \mathop { \sqrt [3] {3 + 2\cdot3\sqrt [3]{4 + 3\cdot4\sqrt [3]{5 + 4\cdot5\sqrt[3] {6 + ... } } } } } = 3$ .

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Re: Επαναλαμβανόμενες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση