Ανάλυση

Rafaelcrete · #1

Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο της ακολουθίας:

$(x_n)=\sin(2\pi\sqrt{n^2+n})$ .

Atemlos · #2

Κάποιες ιδέες υπάρχουν στην ιστοσελίδα παρακάτω...μάλλον δεν υπάρχει το όριο

http://math.stackexchange.com/questions ... i-sqrtn2n1

Rafaelcrete · #3

Το όριο νομίζω υπάρχει, δες ξανά το πρόβλημα.

Tolaso J Kos · #4

Rafaelcrete έγραψε:Να υπολογισθεί το παρακάτω όριο της ακολουθίας:

$(x_n)=\sin(2\pi\sqrt{n^2+n})$ .

Καλημέρα σας.
Ένας (ηλεκτρονικός) σχεδιασμός του γραφήματος της ακολουθίας δείχνει πως το όριο όντως υπάρχει και είναι ίσο

. Δε ξέρω πώς να το βγάλω.

: Plot of sequence.jpg (8.67 KiB) Προβλήθηκε 1410 φορές

Η αρχική μου σκέψη ήταν πως το όριο δε θα υπάρχει. Να όμως που υπάρχει και ισούται με

. Οπότε με χαρά θα περιμένω να δω κάποια λύση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Αφαιρέσε το $\displaystyle{2\pi n}$ μέσα στο $\displaystyle{sin}$ και χρησιμοποίησε την συνέχεια του

Rafaelcrete · #6

Σωστά χρησιμοποιείς ότι: $sin(2\pi\sqrt{n^2+n})=sin(2\pi\sqrt{n^2+n}-2n\pi)$ και έπειτα χρησιμοποιείς της λεγόμενη αρχή της μεταφοράς για να δείξεις ότι το όριο είναι

.

Atemlos · #7

Rafaelcrete έγραψε:Σωστά χρησιμοποιείς ότι: $sin(2\pi\sqrt{n^2+n})=sin(2\pi\sqrt{n^2+n}-2n\pi)$ και έπειτα χρησιμοποιείς της λεγόμενη αρχή της μεταφοράς για να δείξεις ότι το όριο είναι .

Μπορείς να το δείξεις λίγο αναλυτικά αυτό;

Rafaelcrete · #8

Λοιπόν αρχικά θα διατυπώσω την αρχή της μεταφοράς:Έστω συνάρτηση $f:\mathbb{X}\subset\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ .Η

είναι συνεχής στο $Xo\in\mathbb{X}$ αν και μόνο αν για κάθε $X_n\in\mathbb{X}$ με $X_n\rightarrow Xo \Rightarrow f(X_n)\rightarrow f(Xo)$ .Η απόδειξη(αυτού του πράγματος) είναι εύκολη και βρίσκεται στην κίτρινη βίβλο(3 βιβλία απειροστικού του Νεγρεπόντη Στυλιανού) για όποιον την θέλει αναλυτικά.Έχουμε λοιπόν ότι $sin(2\pi\sqrt{n^{2}+n})=sin(2\pi\sqrt{n^{2}+n}-2n\pi)$ .Αυτό αποδεικνύεται με κλασσική επαγωγή αναλυτικά-σε συνδιασμό με χρήση του τύπου του αθροίσματος ημιτόνου(δεν κάνω την απόδειξη προφανώς).Οπότε έχω ότι(κάνοντας συζηγή παράσταση και λίγες πράξεις-απλοποιήσεις):
$2\pi\sqrt{n^{2}+n}-2n\pi=\frac{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}$ .
Άρα $\frac{2\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\rightarrow \pi$ και επειδή η συνάρτηση ημίτονο είναι συνεχής στο $\pi$ (η ακολουθία ανήκει στο σύνολο των πραγματικών αριθμών) έχω από αρχή της μεταφοράς ότι
$sin(2\pi\sqrt{n^{2}+n}-2n\pi)\rightarrow sin(\pi)=0$
0.ε.δ

Ανάλυση

Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Re: Ανάλυση

Μέλη σε σύνδεση