Υπολογισμός Σειράς

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί η σειρά: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\pi/3}{9-4n^2}}$ .

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά.

Tolaso J Kos · #3

Tolaso J Kos έγραψε:Να υπολογιστεί η σειρά: $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\pi/3}{9-4n^2}}$ .

Πέρασε καιρός. Δίδω μία λύση η οποία έρχεται από τις σειρές ${\rm Fourier}$ . Πιο συγκεκριμένα θα χρησιμοποιήσουμε τη σειρά ${\rm Fourier}$ του $\sin ax, \; x \in (0, \pi)$ .

Όπως έχει αποδειχθεί εδώ η σειρά ${\rm Fourier}$ του $\sin ax$ είναι της μορφής:

$\displaystyle{\sin ax \sim \left\{\begin{matrix} \displaystyle \dfrac{4a}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos (2n+1)x}{a^2-(2n+1)^2} &,& a \;\;\; \acute{a}\rho \tau \iota o\varsigma \\ \displaystyle \frac{4a}{\pi}\left [ \frac{1}{2a^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2nx}{a^2-4n^2} \right ] &,& a \;\;\; \pi \varepsilon \rho \iota \tau \tau \acute{o}\varsigma \end{matrix}\right.}$ .

Τώρα βλέπουμε άμεσα πως για a=3

και $x= \pi/6$ παίρνουμε τη ζητούμενη σειρά.
Συνεπώς:

$\displaystyle{\sin 3x = \frac{2}{3\pi }+ \frac{12}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos 2nx}{9-4n^2}\overset{x=\pi/6}{ =\! =\! \Longrightarrow }\sin \frac{\pi}{2}= \frac{2}{3\pi} + \frac{12}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi/3}{9-4n^2}\Rightarrow \frac{3\pi-2}{24}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi/3}{9-4n^2}}$

που ολοκληρώνει την άσκηση.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: $\displaystyle{\sin \frac{\pi}{2}= \frac{2}{3\pi} + \frac{12}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi/3}{9-4n^2}\Rightarrow \frac{3\pi-2}{24}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos n\pi/3}{9-4n^2}}$ ... ... $\displaystyle{\sin \frac{\pi }{2} = \frac{2}{{3\pi }} + \frac{{12}}{\pi }\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos n\pi /3}}{{9 - 4{n^2}}}} \Rightarrow \frac{{3\pi - 2}}{{36}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos n\pi /3}}{{9 - 4{n^2}}}} }$ (αριθμητικό)

Χωρίς σειρές Fourier (Γενικά είναι δύσκολο να μαντέψεις από ποια πρέπει να ξεκινήσεις).

$\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)}}{{9 - 4{n^2}}}} = \frac{1}{6}\left( {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)}}{{2n + 3}}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)}}{{2n - 3}}} } \right) = \frac{1}{6}\left( {\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{\left( {n - 2} \right)\pi }}{3}} \right)}}{{2\left( {n - 2} \right) + 3}}} - \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\pi }}{3}} \right)}}{{2\left( {n + 1} \right) - 3}}} } \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{6}\left( {\sum\limits_{n = 3}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3} - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{2n - 1}}} + \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3} - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{2n - 1}}} } \right) = - \frac{1}{{18}} + \frac{1}{3}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3} - \frac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{2n - 1}}} = - \frac{1}{{18}} + \frac{1}{3}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3} - \frac{\pi }{3}} \right)}}{{2n + 1}}} = }$

$\displaystyle{ = - \frac{1}{{18}} + \frac{1}{6}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\cos \frac{{n\pi }}{3}}}{{2n + 1}}} + \frac{{\sqrt 3 }}{6}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\sin \frac{{n\pi }}{3}}}{{2n + 1}}} = - \frac{1}{{18}} + \frac{1}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{e^{i\frac{{n\pi }}{3}}} + {e^{ - i\frac{{n\pi }}{3}}}}}{{2n + 1}}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{12i}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{e^{i\frac{{n\pi }}{3}}} - {e^{ - i\frac{{n\pi }}{3}}}}}{{2n + 1}}} = }$

$\displaystyle{ = - \frac{1}{{18}} + \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{e^{i\frac{{n\pi }}{3}}}}}{{2n + 1}}} + \frac{{1 + i\sqrt 3 }}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{e^{ - i\frac{{n\pi }}{3}}}}}{{2n + 1}}} = - \frac{1}{{18}} + \frac{{1 - i\sqrt 3 }}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {{e^{i\pi /6}}} \right)}^{2n}}}}{{2n + 1}}} + \frac{{1 + i\sqrt 3 }}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {{e^{ - i\pi /6}}} \right)}^{2n}}}}{{2n + 1}}} = }$

$\displaystyle{ = - \frac{1}{{18}} + \frac{{\left( {1 - i\sqrt 3 } \right){e^{ - i\pi /6}}}}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {{e^{i\pi /6}}} \right)}^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}} + \frac{{\left( {1 + i\sqrt 3 } \right){e^{i\pi /6}}}}{{12}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {{e^{ - i\pi /6}}} \right)}^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}} = }$

$\displaystyle{ = - \frac{1}{{18}} + \frac{{ - i}}{6}Arc\tanh \left( {{e^{i\pi /6}}} \right) + \frac{i}{6}Arc\tanh \left( {{e^{ - i\pi /6}}} \right)}$

Χρησιμοποιήθηκε η (γνωστή) σειρά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{z^{2n + 1}}}}{{2n + 1}}} = Arc\tanh \left( z \right)}$ https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_m ... cal_series

Όμως $\displaystyle{Arc\tanh \left( {{e^{i\pi /6}}} \right) = \frac{{\log \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{2} + i\frac{\pi }{4}}$ και $\displaystyle{Arc\tanh \left( {{e^{-i\pi /6}}} \right) = \frac{{\log \left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{2} - i\frac{\pi }{4}}$ (στοιχειώδη)

και τελικά $\displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\cos \left( {\frac{{n\pi }}{3}} \right)}}{{9 - 4{n^2}}}} = - \frac{1}{{18}} + \frac{{ - i}}{6}Arc\tanh \left( {{e^{i\pi /6}}} \right) + \frac{i}{6}Arc\tanh \left( {{e^{ - i\pi /6}}} \right) = \frac{{3\pi - 2}}{{36}}}$

Tolaso J Kos · #5

Σεραφείμ έγραψε:Χωρίς σειρές Fourier (Γενικά είναι δύσκολο να μαντέψεις από ποια πρέπει να ξεκινήσεις).

Σεραφείμ, δε διαφωνώ. Απλά εκείνη τη περίοδο που έβαλα τη σειρά , έπαιζα με τις σειρές Fourier. Οπότε παίζοντας με τη συνάρτηση $\sin ax$ βγήκε αυτή. Οπότε μετά έβαλα κατάλληλες τιμές στο

και στο

. Και προέκυψε η τιμή της.

Σόρρυ, για το αριθμητικό. Πολύ ωραία λύση αυτή πού έδωσες.

Υπολογισμός Σειράς

Υπολογισμός Σειράς

Re: Υπολογισμός Σειράς

Re: Υπολογισμός Σειράς

Re: Υπολογισμός Σειράς

Re: Υπολογισμός Σειράς

Μέλη σε σύνδεση