μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

KostasA · #1

Έχω μπερδευτεί.
Έχω την εξής σχέση:
$x(t)=\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\frac{\cos \Omega t}{j\Omega }d\Omega }+\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^{\infty}{\frac{\sin \Omega t}{\Omega }d\Omega }$
πώς προκύπτει ότι το πρώτο ολοκλήρωμα είναι μηδέν λόγω του ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι περιττή;
Ευχαριστώ για όποιον βοηθήσει.

Ιστοσελίδα · #2

Να υποθέσω ότι το πρώτο ολοκλήρωμα είναι από $- \infty$ έως $\infty$ , οπότε μάλλον προκύπτει από τη συμμετρία που έχει η γραφική παράσταση μίας τέτοιας συνάρτησης και κατά συνέπεια από την ύπαρξη του ίδιου εμβαδού κάτω και πάνω από τον x'x

υποθέτω.

KostasA · #3

συγνώμη που το ξεθάβω αυτό το θέμα αλλά
ακόμη δεν το έχω καταλάβει.

γνωρίζουμε ότι το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση άρα και συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων και το συνημίτονο άρτια, άρα κανονικά το δεύτερο ολοκλήρωμα δεν θα έπρεπε να είναι 0;

manos1992 · #4

KostasA έγραψε:γνωρίζουμε ότι το ημίτονο είναι περιττή συνάρτηση άρα και συμμετρική ως προς την αρχή των αξόνων και το συνημίτονο άρτια, άρα κανονικά το δεύτερο ολοκλήρωμα δεν θα έπρεπε να είναι 0;

Κώστα καλησπέρα!

Η υπό ολοκλήρωση μεταβλητη Ω μετέχει στη ολοκληρωτέα εκτός απ το ημίτονο και στον παρονομαστή...

sinx

περιττή αλλα $\displaystyle \frac{sinx}{x}$ άρτια

KostasA · #5

λοιπόν το κατάλαβα.Ευχαριστώ Μάνο, τελικά
αυτό που έκανα λάθος είναι ότι δεν ξεκίναγα από
τον ορισμό της άρτιας και περιττής συνάρτησης

#6

... φαίνεται ότι φωτίστηκε τό σκοτεινό σημείο. Γιά μήν μείνουν σκιές...

$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}=\int_{-\infty}^{-\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}+\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}+\int_{\pi}^{+\infty}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}\,.$

Τά ολοκληρώματα $\displaystyle\int_{-\infty}^{-\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}$ καί $\displaystyle\int_{\pi}^{+\infty}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}$ εύκολα αποδεικνύεται ότι συγκλίνουν.

Όμως γιά τό $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}$ τά πράγματα δέν είναι τόσο απλά:

Επειδή $\displaystyle\int_{-\pi}^{0}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}=\mp\infty$ καί $\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}=\pm\infty$ , τό $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}$

άρα καί τό $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}$

αποκλίνουν.

Αυτό πού ισούται μέ

, λόγω περιττότητας, είναι η πρωτεύουσα τιμή $\rm{Cauchy}$ τού $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[{\int_{-\pi}^{-\varepsilon} \frac{\cos({ax})}{bx}\,dx+\int_{\varepsilon}^{\pi}\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}\right]$ , άρα καί τού $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\cos({ax})}{bx}\,dx}\,.\quad\square$

edit: [21:45 ; 1/10/2010] Διορθώθηκε εκτεταμένα η προηγούμενη δημοσίευσή μου.
Ευχαριστώ τόν Αναστάση Κοτρώνη γιά τίς παρατηρήσεις του.

KostasA · #7

πάλι έχω ερώτηση:

γιατί ισχύει το παρακάτω;
$\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{\cos\left[\left(n+m \right)\Omega _{0}t \right]dt}+ \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{\cos\left[\left(n-m \right)\Omega _{0}t \right]dt}=\begin{cases} 0 & \text{ if } n\neq m \\ 1 & \text{ if } n=m \end{cases}$
έχει κανείς καμιά σκέψη;
Το ολοκληρωμα είναι σε μια περίοδο T και προσπάθησα
πάλι να το παλέψω με αν κάποια συνάρτηση είναι περιττή
και μηδενίζεται το ολοκλήρωμά της αλλά δεν το προχώρησα.
ευχαριστώ και πάλι!

#8

Νομίζω πως είναι απλό Κώστα.

Απλά βρές την παράγουσα σε κάθε περίπτωση. Θα δείς πως είναι ημίτονο της ίδιας ποσότητας, άρα έχει και την ίδια περίοδο.

Τα (m+n)T και (m-n)T είναι σα να μήν υπάρχουν.

Με την προϋπόθεση πως n,m φυσικοί.

KostasA · #9

σωστά,ευχαριστώ!

μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Re: μια απορία σε δυο ολοκληρώματα...

Μέλη σε σύνδεση