Άλλη μία στους συμπαγείς χώρους

[s.kap]

Έστω ένας μετρικός χώρος, τέτοιος ώστε κάθε συνεχής συνάρτηση είναι φραγμένη, να αποδειχθεί ότι ο είναι συμπαγής

[dement]

Καλημερα. Ελπιζω να ειμαι σωστος.

Εστω οτι ο δεν ειναι συμπαγης και εστω 1-1 ακολουθια του χωρις σημεια συσσωρευσης. Γυρω απο καθε σημειο οριζουμε κλειστη σφαιρα ακτινας ετσι ωστε ολες οι σφαιρες να ειναι ξενες μεταξυ τους. Στη συνεχεια οριζουμε τη συναρτηση ως αν το δεν ανηκει σε μια απο τις σφαιρες και αν ανηκει στη -οστη σφαιρα.

Εκ κατασκευης η ενωση των σφαιρων δεν εχει εξωτερικα σημεια συσσωρευσης (αλλιως, λογω της ακτινας τους που τεινει στο , θα ειχε και η ακολουθια τα ιδια σημεια συσσωρευσης). Ετσι, η ειναι μη φραγμενη και συνεχης, το οποιο αποδεικνυει το αποτελεσμα μας.

Δημητρης Σκουτερης

[Demetres]

Να μελετηθεί επίσης τι γίνεται αν ο είναι τοπολογικός χώρος αλλά όχι απαραίτητα μετρικός χώρος. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο είναι συμπαγής, ή μήπως υπάρχει αντιπαράδειγμα;

[s.kap]

Δημήτρη
Ας δούμε και αυτό:
Με απαγωγή σε άτοπο:
Αν ο μετρικός χώρος* δεν είναι συμπαγής τότε θα υπάρχει ακολουθία, έστω η χωρίς συγκλίνουσα υπακολουθία. Άρα τα σημεία του συνόλου είναι όλα μεμονωμένα και συνέπεια το είναι κλειστό και ο περιορισμός της μετρικής του στο είναι η διακριτή μετρική, συνεπώς κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι συνεχής
Ορίζουμε λοιπόν τη συνάρτηση
Από το θεώρημα Tietze υπάρχει συνεχής επέκταση της στο
Η είναι συνεχής και μη φραγμένη, άτοπο
Φιλικά
*Διευκρίνηση

[Demetres]

Από το θεώρημα Tietze ...

Σπύρο, το θεώρημα δεν ισχύει για όλους τους τοπολογικούς χώρους.

[s.kap]

Δημήτρη δεν ισχυρίστηκα ότι ισχύει για όλους τους τοπολογικούς χώρους. Η απόδειξη που έδωσα είναι για μετρικούς χώρους. Δεν πρόσεξα τη δική σου ανάρτηση. Αν αναφερόμουν σε τοπολογικούς χώρους γενικά δεν θα μπορούσα να χρησιμοποιήσω τη ακολουθιακή συμπάγεια.
Εν πάσει περιπτώσει το ερώτημα που θέτεις είναι ένα πρόβλημα
Φιλικά

[dement]

Να μελετηθεί επίσης τι γίνεται αν ο είναι τοπολογικός χώρος αλλά όχι απαραίτητα μετρικός χώρος. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο είναι συμπαγής, ή μήπως υπάρχει αντιπαράδειγμα;

Νομιζω υπαρχει αντιπαραδειγμα.

Εστω το συνολο εφοδιασμενο με την τοπολογια ετσι ωστε . Ο χωρος δεν ειναι συμπαγης γιατι τα συνολα συνιστουν ανοικτο καλυμμα χωρις πεπερασμενο υποκαλυμμα.

Οι μονες συνεχεις συναρτησεις απο τον στο ειναι οι σταθερες. Αυτο γιατι, αν , τοτε, για ανοικτο διαστημα που περιεχει το αλλα οχι το , το δεν ειναι ανοικτο αφου δεν περιεχει το . Ετσι η , αν ειναι συνεχης, ειναι υποχρεωτικα φραγμενη.

Αφου λοιπον καθε συνεχης συναρτηση ειναι φραγμενη αλλα ο χωρος δεν ειναι συμπαγης η προταση δεν ισχυει.

Δημητρης Σκουτερης

[Demetres]

Δημήτρη πολύ ωραία. Η τοπολογία που έδωσες ονομάζεται particular point topology. Είχαμε μια παρόμοια συζήτηση στο mathlinks: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=268069

[s.kap]

Να μελετηθεί επίσης τι γίνεται αν ο είναι τοπολογικός χώρος αλλά όχι απαραίτητα μετρικός χώρος. Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο είναι συμπαγής, ή μήπως υπάρχει αντιπαράδειγμα;

Νομιζω υπαρχει αντιπαραδειγμα.

Εστω το συνολο εφοδιασμενο με την τοπολογια ετσι ωστε . Ο χωρος δεν ειναι συμπαγης γιατι τα συνολα συνιστουν ανοικτο καλυμμα χωρις πεπερασμενο υποκαλυμμα.

Οι μονες συνεχεις συναρτησεις απο τον στο ειναι οι σταθερες. Αυτο γιατι, αν , τοτε, για ανοικτο διαστημα που περιεχει το αλλα οχι το , το δεν ειναι ανοικτο αφου δεν περιεχει το . Ετσι η , αν ειναι συνεχης, ειναι υποχρεωτικα φραγμενη.

Αφου λοιπον καθε συνεχης συναρτηση ειναι φραγμενη αλλα ο χωρος δεν ειναι συμπαγης η προταση δεν ισχυει.

Δημητρης Σκουτερης

Δημήτρη
Είσαι απίστευτος

[ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ]

Στο συνημμένο υπάρχει η λύση του γενικού προβλήματος.
Οι τοπολογικοί χώροι Hausdorff που κάθε πραγματική συνάρτηση είναι φραγμένη
ονομάζονται pseudocompact.
Στο συνημμένο υπάρχει παράδειγμα pseudocompact χώρου που δεν είναι countable compact.
Να σημειώσω ότι κάθε compact. είναι countable compact.
Υ.Γ Το βιβλίο του Dugundji βρίσκεται ελεύθερο στο διαδύκτιο.