Όριο

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μια συνάρτηση διαφορίσιμη και $a\in\mathbb{R}$ με $f^{\prime}(a)\neq0$ . Αν $\xi_{x}\in(a,x)$ ώστε $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(\xi_{x})(x-a)$ , τότε $\displaystyle\lim_{\xi_{x}\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .
(Δεν την έχω ακόμα λύσει. Αν χρειαστεί ας μεταφερθεί.)

#2

Αναστάσιε, που την βρήκες; Βρήκα μια λύση στην περίπτωση που η παράγωγος της f είναι συνεχής αλλά σίγουρα όχι λυκειακή. (Χρησιμοποιώ inverse function theorem και μετά από αρκετές πράξεις βγαίνει.)

ΥΓ: Φαντάζομαι εννοείς $\displaystyle \lim\limits_{x \to a} \frac{\xi_x - a}{x-a}$

#3

Demetres έγραψε:Αναστάσιε, που την βρήκες;

Η άσκηση είναι από το βιβλίο των Νεγρεπόντη-Γιωτόπουλου-Γιαννακούλια Απειροστικός Λογισμός Τόμος ΙΙβ Εκδόσεις Συμμετρία σελ.463 Άσκηση 25-23.

Demetres έγραψε:Φαντάζομαι εννοείς $\displaystyle \lim\limits_{x \to a} \frac{\xi_x - a}{x-a}$

Γράφω την εκφώνηση κατά λέξη όπως δίνεται στο βιβλίο :
Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μια συνάρτηση διαφορίσιμη στο

, με $f^{\prime}(a)\neq0$ . Αν $\xi_{x}\in(a,x)$ ώστε $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(\xi_{x})(x-a)$ , τότε $\displaystyle\lim_{\xi_{x}\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .
Επειδή η άσκηση βρίσκεται στο κεφάλαιο με τις απροσδιόριστες μορφές, υπέθεσα ότι η

θα είναι διαφορίσιμη στο $\mathbb{R}$ , (ίσως να μη χρειάζεται). Ήδη ισχυροποίησα δηλαδη τις υποθέσεις. Όσο για το όριο, είναι $\xi_{x}\to a$ (μου έκανε και μένα εντύπωση. Δεν ξέρω αν είναι λάθος ή όχι.) Θα με ενδιέφερε να δω κάποια αντιμετώπιση του θέματος..

#4

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Έστω $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ μια συνάρτηση διαφορίσιμη και $a\in\mathbb{R}$ με $f^{\prime}(a)\neq0$ . Αν $\xi_{x}\in(a,x)$ ώστε $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(\xi_{x})(x-a)$ , τότε $\displaystyle\lim_{\xi_{x}\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .
(Δεν την έχω ακόμα λύσει. Αν χρειαστεί ας μεταφερθεί.)

Είναι από το American mathematical monthly , αλλά δεν θυμάμαι το τεύχος και τη χρονιά. Έχω τη λύση αλλά και μια σειρά από παρόμοια και σχετικά ενδιαφέροντα προβλήματα. Η απόδειξη γίνεται με τον κανόνα de L'Hospital, αλλά θέλει και εμρικά στοιχειώδη τεχνάσματα.
Έχω κατά νου να τα φτιάξω ένα αρχείο όλα αυτά τα προβλήματα - με τις λύσεις - και να το βάλω στο φάκελο. Με βοήθησε και ο Νίκος Μαυρογιάννης να βρούμε τις πηγές. Την αφορμή την πήρα από ένα άρθρο που βρήκα σε τεύχος του Gazeta matematica, ίσως του 1995 και ζήτησα από το Νίκο να μου βρει το αντίστοιχο τεύχος του ΑΜΜ.Στο ρουμάνικο τεύχος έχει ακόμα 3 αντίστοιχα προβλήματα με τις λυσεις τους. Αν βρω χρόνο , θα τα καθαρογράψω να σας τα στείλω.
Μπάμπης

#5

Έχω βρει μια λύση η οποία απαιτεί μόνο την συνέχεια της

.

Για ευκολία, μπορώ να υποθέσω ότι α=0 (EDIT: Δεν το είχα γράψει στο προηγούμενο μήνυμα, αλλά υποθέτω επίσης ότι f(0) = 0

.)

Παρατηρώ ότι $\displaystyle \frac{d}{dx} \int_0^x f(t) \,dt = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) \, dt = f(x)$ .

Άρα, $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\xi_x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\int_0^x f(t) \, dt}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{2x} = \frac{f^{\prime}(0)}{2}$ .

Επειδή $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\xi_x)}{\xi_x} = f^{\prime}(0)$ και $f^{\prime}(0) \neq 0$ , έχουμε $\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\xi_x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\xi_x}{f(x)} \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{x} = \frac{1}{2}$ .

EDIT: Αν γνωρίζουμε μόνο πως η f είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε δουλεύουμε ώς εξης:

Για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχει $\delta > 0$ ώστε $\displaystyle 0 < x < \delta \Rightarrow \left| \frac{f(x)}{x} - f^{\prime}(0) \right|< \epsilon$ . Άρα, για κάθε $\displaystyle 0 < x < \delta$ , έχουμε

$\displaystyle \left| \frac{\int_0^x f(t) \,dt}{x^2} - \frac{f(x)}{2x} \right| = \left| \int_0^x \frac{t}{x^2} \left( \frac{f(t)}{t} - \frac{f(x)}{x} \right) \, dt \right| < 2\varepsilon$ .

Άρα $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(\xi_x)}{x} = \frac{f^{\prime}(0)}{2}$ και συνεχίζουμε όπως πιο πάνω.

#6

Παραθέτω την εκφώνηση και τη λύση τσι άσκησης όπως υπάρχει στο βιβλίο του Titu Andreescu : Problems in real analysis, advanced Calculus on the real axis (Φχαριστώ το φίλο Κυριαζή για την υπόδειξη καθώς και για τη μπρομήθεια του φίνου αυτού εγχειριδίου!!)
Εκφώνηση
Έστω

συνεχής συνάρτηση στο [a,b]

παραγωγίσιμη στο

με $f^{\prime}(a+)\neq0$ . Αν $c_{x}\in(a,x)$ τέθοιο ώστε $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(c_{x})(x-a)$ , αζ δειχθεί ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{c_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .
Λύση
Από De l' Hospital έχουμε $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\int_{a}^{x}f(t)\,dt-xf(a)+af(a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{2(x-a)}=\frac{f^{\prime}(a)}{2}$ .
Όμως
$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\int_{a}^{x}f(t)\,dt-xf(a)+af(a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f(c_{x})(x-a)-f(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f(c_{x})-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f(c_{x})-f(a)}{c_{x}-a}\frac{c_{x}-a}{x-a}=f^{\prime}(a)\lim_{x\to a}\frac{c_{x}-a}{x-a}$ .
Έπεται λοιπόν ότι $\lim_{x\to a}\frac{c_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .

Γενίκευση: Έστω

συνεχής στο [a,b]

, k φορές παραγωγίσιμη στο

, με $f^{(i)}(a+)=0$ για $i=1,\ldots,k-1$ και $f^{k}(a+)\neq0$ . Αν $c_{x}\in(a,x)$ τέθοιο ώστε $\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(c_{x})(x-a)$ , αζ δειχθεί ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{c_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{\sqrt[k]{k+1}}$ .

Προβληματισμός (δικό ζμου): Ισχύει κάτι αντίστοιχο και για το $\xi_{x}$ του θεωρήματος μέσης τιμής διαφορικού λογισμού; (θα το σκεφτώ αύριο μετά το πρωινό..

).

Ερώτηση: Γενικότερα κάποια άλλη άσκηση που ως αποτέλεζμα να καταδεικνύει κάποια συμπεριφορά αυτών των $\xi_{x}$ , $c_{x}$ κλπ; Νομίζω θα ήταν αρκετά ενδιαφέρον..
Καληνύχτα σας!

#7

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:...Προβληματισμός (δικός μου): Ισχύει κάτι αντίστοιχο και για το $\xi_{x}$ του θεωρήματος μέσης τιμής διαφορικού λογισμού; (θα το σκεφτώ αύριο μετά το πρωινό.. )...

Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο [a,b]

και δυο φορές παραγωγίσιμη στο

με $f^{\prime}^{\prime}(a+)\neq0$ . Αν $\xi_{x}\in(a,x)$ τέθοιο ώστε $\displaystyle f^{\prime}(\xi_{x})=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , ας δειχθεί ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .

#8

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:...Προβληματισμός (δικός μου): Ισχύει κάτι αντίστοιχο και για το $\xi_{x}$ του θεωρήματος μέσης τιμής διαφορικού λογισμού; (θα το σκεφτώ αύριο μετά το πρωινό.. )...
Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο και δυο φορές παραγωγίσιμη στο με $f^{\prime}^{\prime}(a+)\neq0$ . Αν $\xi_{x}\in(a,x)$ τέθοιο ώστε $\displaystyle f^{\prime}(\xi_{x})=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , ας δειχθεί ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .

Αναστάση έχω σκεφτεί το εξής: Με τρόπο παρόμοιο με τον παραπάνω, έχουμε:
Από De l' Hospital έχουμε $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-xf^{\prime}(a)-f(a)+af^{\prime}(a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)}{2(x-a)}=\frac{f^{\prime}^{\prime}(a)}{2}$ .
Όμως
$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-xf^{\prime}(a)-f(a)+af^{\prime}(a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(\xi_{x})(x-a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(\xi_{x})-f^{\prime}(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(\xi_{x})-f^{\prime}(a)}{\xi_{x}-a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=f^{\prime}^{\prime}(a)\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}$ .
Έπεται λοιπόν ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .

Τι λες και συ...;

#9

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:
Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:...Προβληματισμός (δικός μου): Ισχύει κάτι αντίστοιχο και για το $\xi_{x}$ του θεωρήματος μέσης τιμής διαφορικού λογισμού; (θα το σκεφτώ αύριο μετά το πρωινό.. )...
Έστω $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο και δυο φορές παραγωγίσιμη στο με $f^{\prime}^{\prime}(a+)\neq0$ . Αν $\xi_{x}\in(a,x)$ τέθοιο ώστε $\displaystyle f^{\prime}(\xi_{x})=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ , ας δειχθεί ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .
Αναστάση έχω σκεφτεί το εξής: Με τρόπο παρόμοιο με τον παραπάνω, έχουμε:
Από De l' Hospital έχουμε $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-xf^{\prime}(a)-f(a)+af^{\prime}(a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)}{2(x-a)}=\frac{f^{\prime}^{\prime}(a)}{2}$ .
Όμως
$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-xf^{\prime}(a)-f(a)+af^{\prime}(a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(\xi_{x})(x-a)-f^{\prime}(a)(x-a)}{(x-a)^{2}}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(\xi_{x})-f^{\prime}(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(\xi_{x})-f^{\prime}(a)}{\xi_{x}-a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=f^{\prime}^{\prime}(a)\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}$ .
Έπεται λοιπόν ότι $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{\xi_{x}-a}{x-a}=\frac{1}{2}$ .

Τι λες και συ...;

Εγώ λέω σωστός modulo

λάθους...

#10

Δεν είμαι και πολύ σχετικός με τα modulo, αλλά το βλέπω μια χαρά!

Όριο

Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Re: Όριο

Μέλη σε σύνδεση