Δεν υπάρχει συνάρτηση

#1

Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση

που ορίζεται στο $\mathbb{R}$ , είναι 1-1, κυρτή και $f(\mathbb{R})=(a,b)$ , όπου $a,b \in \mathbb{R}$ με a<b

dement · #2

Καλημερα.

Εστω σημεια x_1 < x_2

με

. Τοτε, λογω κυρτοτητας, για καθε x > x_2

ισχυει $\displaystyle \frac{f(x) - f(x_2)}{x - x_2} \geq \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ , δηλαδη $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ (ατοπο).

Ομοιως, αν f(x_1) > f(x_2)

, τοτε $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$ (παλι ατοπο).

Δημητρης Σκουτερης

#3

Δημήτρη ευχαριστώ
Ας δούμε και μια κάπως διαφορετική. Με απαγωγή σε άτοπο
Έστω ότι υπάρχει τέτοια συνάρτηση, τότε
Η $\displaystyle{f}$ , λόγω της κυρτότητας θα είναι συνεχής και επειδή είναι 1-1 θα είναι γνησίως μονότονη.
Χωρίς βλάβη της γενικότητας ας είναι γνησίως αύξουσα, τότε
$\displaystyle\lim_{x\to + \infty}f(x)=b$
Από την κυρτότητα
$f(\frac {1+n}{2}) \leq \frac {f(1)+f(n)}{2}, \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} f(\frac {1+n}{2}) \leq \displaystyle\lim_{n \to \infty}\frac {f(1)+f(n)}{2} \Rightarrow b \leq \frac {f(1)+b}{2} \Rightarrow b \leq f(1)$ ,
άτοπο.
Φιλικά

#4

H f έχει μη οριζόντια εφαπτομένη σε κάποιο α
Αν $\displaystyle{f'(a)>0}$
Η Cf βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη της άρα θα τείνει στο +άπειρο όταν το χ τείνει στο +άπειρο. Άτοπο αφού f φραγμένη
Αν $\displaystyle{f'(a)<0}$ θα τείνει στο +άπειρο όταν το χ τείνει στο -άπειρο.Ατοπο

(Για την κυρτή νομίζω ότι χρειάζεται μὀνο το ανω φράγμα, για την κοίλη το κάτω)

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Re: Δεν υπάρχει συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση