Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό χρηστος ευαγγελινος » Πέμ. Απρ. 16, 2009 3:20 pm

μηπως εχει κανεις υποψιν του καμια αποδειξη του θεωρηματος οτι καθε ακολουθιακα συμπαγης μετρικος χωρος ειναι συμπαγης? εχω δει μια αποδειξη που χρειαζεται πρωτα να δειξουμε οτι ο χωρος ειναι ολικα φραγμενος και πληρης αλλα ειναι μακροσκελης.
εστω ε<0
χρηστος ευαγγελινος
 
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τρί. Απρ. 14, 2009 12:17 pm

Re: συμοαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Demetres » Παρ. Απρ. 17, 2009 11:02 am

Κοίταζα χθες τις σημειώσεις μου και εγώ την ίδια απόδειξη είχα. Μια διαφορετική απόδειξη υπάρχει στις ασκήσεις του 2ου κεφαλαίου του Rudin (Principles of Mathematical Analysis). (Ίδιας περίπου δυσκολίας)

Πολυ περιληπτικά

- Χ ακολουθιακά συμπαγής ==> Χ ολικά φραγμένος
- Χ ολικά φραγμένος ==> Χ διαχωρίσιμος (=separable) έχει αριθμήσιμο πυκνό υποσύνολο
- Χ διαχωρίσιμος ==> Χ έχει αριθμήσιμη βάση
- Χ έχει αριθμήσιμη βάση ==> κάθε ανοικτή κάλυψη του Χ έχει αριθμήσιμη υποκάλυψη
- κάθε ανοικτή κάλυψη του Χ έχει αριθμήσιμη υποκάλυψη & Χ ακολουθιακά συμπαγής ==> Χ συμπαγής

Αν κάποιος γνωρίζει μια πιο σύντομη απόδειξη, ενδιαφέρομαι και εγώ να την μάθω.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 5047
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό nsmavrogiannis » Παρ. Απρ. 17, 2009 11:17 am

Και εγώ κοίταξα χθες αρκετά από τα βιβλία μου και όλες οι αποδείξεις που βρήκα ήσαν μακροσκελείς. Ψάχνοντας, κατόπιν, στο διαδίκτυο έπεσα στην ιστοσελίδα της Katrin Wehrheim
http://math.mit.edu/~katrin/
όπου υπάρχει ένα σημείωμα (Συμπάγεια vs Ακολουθιακής Συμπάγειας) που παρουσιάζει μία ενδιαφέρουσα διάταξη στην απόδειξη πάλι, οποία σύμπτωση, από τον Rudin:
http://www-math.mit.edu/~katrin/teach/18.100/compactness08.pdf
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Άβαταρ μέλους
nsmavrogiannis
Γενικός Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 3373
Εγγραφή: Σάβ. Δεκ. 20, 2008 7:13 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Demetres » Παρ. Απρ. 17, 2009 11:19 am

Ψάχνοντας στο internet βρήκα εδώ μια εξαιρετικά όμορφη και σύντομη απόδειξη. (Χρησιμοποιεί όμως αξίωμα επιλογής.)
Άβαταρ μέλους
Demetres
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 5047
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό χρηστος ευαγγελινος » Παρ. Απρ. 17, 2009 12:25 pm

επιτελους λοιπον μια ομορφη και γρηγορη αποδειξη.το AC που χρησιμοποιει το εφαρμοζει σε αλυσιδες συνολων η συγκεκριμενη αποδειξη οποτε δεν υπαρχει προβλημα

δημητρη οτν μιλας για βαση του μετρικου χωρου υποθετω οτι μιλας για βαση της τοπολογιας του ετσι?

προσπαθησα επισης να αποδειξω το θεωρημα μεσω της ιδιοτητας των πεπερασμενων τομων: ενας μετρικος χωρος Χ ειναι συμπαγης αν και μονο αν καθε οικογενεια κλειστων μη κενων υποσυνολων του Χ που εχει την ιδιοτητα των πεπερασμενων τομων (δηλαδη καθε πεπερασμενη υποοικογενεια της εχει μη κενη τομη) εχει μη κενη τομη.

αλλα δεν καταφερα και παρα πολλα.

ευχαριστω πολυ για τα links..
εστω ε<0
χρηστος ευαγγελινος
 
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τρί. Απρ. 14, 2009 12:17 pm

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Mihalis_Lambrou » Παρ. Απρ. 17, 2009 3:21 pm

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:το AC που χρησιμοποιει το εφαρμοζει σε αλυσιδες συνολων η συγκεκριμενη αποδειξη οποτε δεν υπαρχει προβλημα


Χρήστο, τι εννοείς ότι δεν υπάρχει πρόβλημα όταν εφαρμόζουμε το αξίωμα επιλογής (AC) σε αλυσίδες;
Θα έλεγα ότι είναι ισοδύναμο με την κλασική μορφή. Κάνω λάθος;

Φιλικά,
Μιχάλης
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 6141
Εγγραφή: Κυρ. Δεκ. 21, 2008 2:04 am

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Mihalis_Lambrou » Παρ. Απρ. 17, 2009 3:39 pm

Demetres έγραψε:Ψάχνοντας στο internet βρήκα εδώ μια εξαιρετικά όμορφη και σύντομη απόδειξη. (Χρησιμοποιεί όμως αξίωμα επιλογής.)


Κοιτώντας πρόχειρα την απόδειξη, κάτι δεν μου αρέσει. Γράφει

Theorem. A sequentially compact subset of a metric space is compact.

Proof. Suppose A \subset M (where M is a metric space) has an open cover with no finite subcover. Let this cover be given by C=\{O_i\}_{i\in I}, where I is an arbitrary indexing set (could be uncountable). Subcovers of C are partially ordered by inclusion,
and every chain of subcovers has a minimal element (given by the intersection of all of its elements).

Και ποιός μου λέει ότι η τομή αυτή δεν είναι κενή; Πρώτα από όλα η διάταξη που εννοεί είναι " Α < Β αν και μόνον αν A \supsetB " για να μιλάμε για minimal στοιχεία στην θέση των maximal.

Τώρα, αν π.χ. αν είχα κάλυψη (για κάθε σταθερό ξ) του R από τα σύνολα
G(ξ) = { (- \infty , nξ ) / n \in N}

και η αλυσίδα μου ήταν η G(ξ) \supset G(2ξ) \supset G(4ξ) \supset ... , δεν θα είχα κενή τομή; Κάνω λάθος;

Φιλικά,

Μιχάλης.
Mihalis_Lambrou
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 6141
Εγγραφή: Κυρ. Δεκ. 21, 2008 2:04 am

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό Demetres » Παρ. Απρ. 17, 2009 5:04 pm

χρηστος ευαγγελινος έγραψε:δημητρη οτν μιλας για βαση του μετρικου χωρου υποθετω οτι μιλας για βαση της τοπολογιας του ετσι?


Ακριβώς.

Mihalis_Lambrou έγραψε:Χρήστο, τι εννοείς ότι δεν υπάρχει πρόβλημα όταν εφαρμόζουμε το αξίωμα επιλογής (AC) σε αλυσίδες;
Θα έλεγα ότι είναι ισοδύναμο με την κλασική μορφή. Κάνω λάθος;


Και εγώ νομίζω πως είναι ισοδύναμα. Προσέξτε ότι χρησιμοποιούμε δύο φορές το αξίωμα επιλογής. Μια σαν Zorn, και μια σαν αξίωμα επιλογής. Ίσως ο Χρήστος να σκέφτεται πως η εφαρμογή του Zorn μπορεί να γίνει εφαρμογή Bourbaki-Witt που δεν θέλει επιλογή, αλλά δεν βλέπω πως (Έτσι κι'αλλιώς όπως παρατήρησε ο Μιχάλης είναι λάθος.)

Mihalis_Lambrou έγραψε:Κοιτώντας πρόχειρα την απόδειξη, κάτι δεν μου αρέσει.


Έχετε απόλυτο δίκιο. Δεν την κοίταξα αρκετά προσεκτικά.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Συντονιστής
 
Δημοσιεύσεις: 5047
Εγγραφή: Δευτ. Ιαν. 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα

Re: Συμπαγεις μετρικοι χωροι

Μη αναγνωσμένη δημοσίευσηαπό χρηστος ευαγγελινος » Παρ. Απρ. 17, 2009 5:39 pm

ναι ειναι ισοδυναμα νομιζω.θα πρεπει να τη δουμε προσεκτικα την αποδειξη και να βγαλουμε ενα ασφαλες συμπερασμα για την ορθοτητα της.η προηγουμενη ενσταση ειναι βασιμη νομιζω.

οσο για το αξιωμα της επιλογης ειχα την εντυπωση οτι σε πολλους δεν αρεσει γενικοτερα η χρηση του.μπορει να εχω λαθος εντυπωση ομως. ομως παιζει βασικο ρολο σε πολλα θεωρηματα,π.χ στο θεωρημα hanh-banach στη συναρτησιακη αναλυση για την επεκταση των φραγμενων συναρτησοειδων.
εστω ε<0
χρηστος ευαγγελινος
 
Δημοσιεύσεις: 65
Εγγραφή: Τρί. Απρ. 14, 2009 12:17 pm


Επιστροφή στο ΑΝΑΛΥΣΗ

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτή την Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης