σ-Αλγεβρα
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Κοτρώνης Αναστάσιος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3203
- Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
- Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
- Επικοινωνία:
σ-Αλγεβρα
Ας βάλω και εγώ μια άσκηση υπό μορφή ερώτησης, για όποιον δεν το έχει ήδη υπόψιν του.
Υπάρχει άπειρη αριθμήσιμη σ-Αλγεβρα;
(Αυτή η ερώτηση μου υπεβλήθη κατά τη συνέντευξη για την επιλογή μεταπτυχιακών φοιτητών στο μαθηματικό της Αθήνας, όπου ομολογώ πως με έπιασαν απροετοίμαστο...Μια άλλη ερώτηση που μου υπεβλήθη, αντίστοιχου επιπέδου δυσκολίας ήταν αν η είναι παραγωγίσιμη στο ...... )
Υπάρχει άπειρη αριθμήσιμη σ-Αλγεβρα;
(Αυτή η ερώτηση μου υπεβλήθη κατά τη συνέντευξη για την επιλογή μεταπτυχιακών φοιτητών στο μαθηματικό της Αθήνας, όπου ομολογώ πως με έπιασαν απροετοίμαστο...Μια άλλη ερώτηση που μου υπεβλήθη, αντίστοιχου επιπέδου δυσκολίας ήταν αν η είναι παραγωγίσιμη στο ...... )
Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Λέξεις Κλειδιά:
Re: σ-Αλγεβρα
καθε απειρη σ-αλγεβρα ειναι κατ αναγκην υπεραριθμησιμη.
η αποδειξη γινεται αποδυκνυοντας οτι καθε αριθμησιμη σ-αλγεβρα ειναι πεπερασμενη,οριζοντας μια σχεση ισοδυναμιας στο συνολο Χ επι του οποιου οριζεται η σ-αλγεβρα Α.η σχεση ειναι η εξης
υστερα δειχνουμε για το συνολο Ε των κλασεων ισοδυναμιας αυτης της σχεσης οτι το συνολο Β ολων των ενωσεων απο μελη της ειναι υπεραριθμησιμο (υποθετοντας προς ατοπο οτι το Ε ειναι απειρο) και βρισκεεται μεσα στην αρχικη σ-αλγεβρα Α.αυτο ομως ειναι ατοπο αρα η Ε ειναι πεπερασμενη.μετα ευκολα δειχνουμε οτι Β=Α αρα η Α ειναι πεπερασμενη.
αν η Α εξ αρχης ειναι αλγεβρα και οχι σ-αλγεβρα τοτε το παραπανω ισχυει?δηλαδη ειναι δυνατον να βρεθει απειρη αριθμησιμη αλγεβρα?
η αποδειξη γινεται αποδυκνυοντας οτι καθε αριθμησιμη σ-αλγεβρα ειναι πεπερασμενη,οριζοντας μια σχεση ισοδυναμιας στο συνολο Χ επι του οποιου οριζεται η σ-αλγεβρα Α.η σχεση ειναι η εξης
υστερα δειχνουμε για το συνολο Ε των κλασεων ισοδυναμιας αυτης της σχεσης οτι το συνολο Β ολων των ενωσεων απο μελη της ειναι υπεραριθμησιμο (υποθετοντας προς ατοπο οτι το Ε ειναι απειρο) και βρισκεεται μεσα στην αρχικη σ-αλγεβρα Α.αυτο ομως ειναι ατοπο αρα η Ε ειναι πεπερασμενη.μετα ευκολα δειχνουμε οτι Β=Α αρα η Α ειναι πεπερασμενη.
αν η Α εξ αρχης ειναι αλγεβρα και οχι σ-αλγεβρα τοτε το παραπανω ισχυει?δηλαδη ειναι δυνατον να βρεθει απειρη αριθμησιμη αλγεβρα?
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: σ-Αλγεβρα
Υπάρχει άπειρη αριθμήσιμη άλγεβρα. Προς το παρόν αφήνω την κατασκευή της σαν άσκηση.χρηστος ευαγγελινος έγραψε: αν η Α εξ αρχης ειναι αλγεβρα και οχι σ-αλγεβρα τοτε το παραπανω ισχυει?δηλαδη ειναι δυνατον να βρεθει απειρη αριθμησιμη αλγεβρα?
Re: σ-Αλγεβρα
αν παρω μια απειρα αριθμησιμη οικογενεια υποσυνολων ενος συνολου Χ τοτε η ελαχιστη αλγεβρα που την περιεγχει ειναι αριθμησιμη.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: σ-Αλγεβρα
Πολύ ωραία. Το δικό μου παράδειγμα ήταν να πάρω όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα του Ν καθώς και τα συμπληρώματά τους. (Η οποία φυσικά είναι η ελάιστη άλγεβρα που περιέχει όλα τα μονοσύνολα.)
Re: σ-Αλγεβρα
συνεχιζοντας τη συζητηση περι αλγεβρων θετω το εξης:
αν Α ειναι μια αλγεβρα και τοτε η Α ειναι σ-αλγεβρα.
δηλαδη οταν μια αλγεβρα ειναι κλειστη για τις ενωσεις ολων των αυξουσων ακολουθιων απο μελη της τοτε ειναι σ-αλγεβρα.
αν Α ειναι μια αλγεβρα και τοτε η Α ειναι σ-αλγεβρα.
δηλαδη οταν μια αλγεβρα ειναι κλειστη για τις ενωσεις ολων των αυξουσων ακολουθιων απο μελη της τοτε ειναι σ-αλγεβρα.
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: σ-Αλγεβρα
Ας είναι . Αρκεί να δείξω ότι . Θέτω . Τότε και , άρα .χρηστος ευαγγελινος έγραψε:συνεχιζοντας τη συζητηση περι αλγεβρων θετω το εξης:
αν Α ειναι μια αλγεβρα και τοτε η Α ειναι σ-αλγεβρα.
δηλαδη οταν μια αλγεβρα ειναι κλειστη για τις ενωσεις ολων των αυξουσων ακολουθιων απο μελη της τοτε ειναι σ-αλγεβρα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες