ολοκλήρωμα από γινόμενο

#1

Με αφορμή ένα γινόμενο, σε άλλη συζήτηση (viewtopic.php?f=9&t=1181&p=6806#p6806), όπου ο υπολογισμός του γίνεται μέσω ολοκληρώματος, θυμήθηκα κάτι που είχα σκεφτεί παλαιότερα:

Υπάρχουν αρκετά παραδείγματα ορίων αθροισμάτων ή (αφού λογαριθμήσουμε) γινομένων το οποία υπολογίζονται μέσω ολοκλήρωσης.

Τι γίνεται με το ανάποδη διαδικασία; Υπάρχουν ολοκληρώματα που τα βρίσκουμε πιο εύκολα μέσω αθροισμάτων ή γινομένων;

Στο τέλος κατασκεύασα το εξής παράδειγμα που το είχα δώσει στον Ανδρέα Παντερή, όταν εκπονούσε την ωραία του διατριβή περί ολοκληρωμάτων, στο Μαθηματικό Κρήτης.

α) Δείξτε (είναι γνωστό!) ότι
$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin(\frac{1}{2}(n-1)\frac{\pi}{n})= \sqrt{n}2^{-\frac{n-1}{2}$

β) Να συμπεράνετε ότι $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{lnsinx}dx=-\frac{\pi ln2}{2}$

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

papel · #2

MIA ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΙΣΟΤΗΤΑ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΤΟ ν ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΦΟΡΟ
ΤΟΥ 1.ΑΛΛΙΩΣ ΓΙΑ ν=1 ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ 1=0.
ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΖΕΙΣ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΖΕΙΣ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ.

#3

papel έγραψε:ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΙΣΟΤΗΤΑ ΕΙΝΑΙ ΟΤΙ ΤΟ ν ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΔΙΑΦΟΡΟ
ΤΟΥ 1.ΑΛΛΙΩΣ ΓΙΑ ν=1 ΠΡΟΚΥΠΤΕΙ 1=0.

Ισχύει και για ν=1. Συνήθως παίρνουμε το κενό γινόμενο να ισούται με 1. (Όπως στην περίπτωση του 0!)

#4

(Κινδυνεύοντας να γίνω πρήχτης..) Μήπως θα μπορούσε κάποιος, αν έχει όρεξη, να γράψει κάπως αναλυτικά τη λύση; κάπου κολλάω.. Το ολοκλήρωμα είναι γενικευμένο, δεν είναι έτσι;

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ..............................
α) Δείξτε (είναι γνωστό!) ότι
$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin(\frac{1}{2}(n-1)\frac{\pi}{n})= \sqrt{n}2^{-\frac{n-1}{2}$
..................

Καλημέρα σας!

Η παραπάνω σχέση (αν δεν κάνω λάθος) ισχύει όταν ο

είναι περιττός!
Συγκεκριμένα,

$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin(\frac{1}{2}(n-1)\frac{\pi}{n})= \sqrt{n}2^{-\frac{n-1}{2}$ , αν ο

είναι περιττός

και

$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin(\frac{1}{2}(n-2)\frac{\pi}{n})= \sqrt{n}2^{-\frac{n-1}{2}$ , αν ο

είναι άρτιος.

(Θα το κοιτάξω καλύτερα και θα δώσω απόδειξη)

Νικόλαος Κατσίπης

#6

Καλημέρα σε όλους!

Γνωρίζουμε ότι:

$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdots sin\frac{(n-1)\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}.$ $(\ast)$

Απόδειξη:

Θεωρούμε το πολυώνυμο

$f(z)=z^n-1=(z-1)(z-\epsilon)\cdots(z-\epsilon^{n-1})$ , όπου $\epsilon=cos\frac{2\pi}{n}+i sin\frac{2\pi}{n}$

οστή ρίζα της μονάδας.

Έχουμε ότι:

$n=f^{\prime}(1)=(1-\epsilon)(1-\epsilon^2)\cdots(1-\epsilon^{n-1})$ (1).

Όμως, $|1-\epsilon^k|=2 sin\frac{k\pi}{n}(sin\frac{k\pi}{n}-i cos\frac{k\pi}{n}).$

Παίρνοντας μέτρα στην (1) έχουμε την $(\ast)$ .

Από την $(\ast)$ ,

αν ο

περιττός

τότε χρησιμοποιώντας την ιδιότητα $sin(\pi-\theta)=sin(\theta)$ καταλήγουμε στην σχέση

$sin^2\frac{\pi}{n}sin^2\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin^2(\frac{1}{2}(n-1)\frac{\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}$ και άρα (το γινόμενο είναι θετικό)

$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin(\frac{1}{2}(n-1)\frac{\pi}{n})= \sqrt{n}2^{-\frac{n-1}{2}$ .

αν ο

άρτιος

τότε χρησιμοποιώντας την ιδιότητα $sin(\pi-\theta)=sin(\theta)$ και ότι ο μεσαίος όρος είναι ο $sin\frac{\frac{n\pi}{2}}{n}=1$ , καταλήγουμε στην σχέση,

$sin^2\frac{\pi}{n}sin^2\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin^2(\frac{1}{2}(n-2)\frac{\pi}{n})=\frac{n}{2^{n-1}}$ και άρα (το γινόμενο είναι θετικό)

$sin\frac{\pi}{n}sin\frac{2\pi}{n}\cdot ... \cdot sin(\frac{1}{2}(n-2)\frac{\pi}{n})= \sqrt{n}2^{-\frac{n-1}{2}$ .

Νικόλαος Κατσίπης

ολοκλήρωμα από γινόμενο

ολοκλήρωμα από γινόμενο

Re: ολοκλήρωμα από γινόμενο

Re: ολοκλήρωμα από γινόμενο

Re: ολοκλήρωμα από γινόμενο

Re: ολοκλήρωμα από γινόμενο

Re: ολοκλήρωμα από γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση