Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

mathxl · #1

Να υπολογίστετ το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta }}$ (αν και ήθελα να το βάλω στο φάκελο-λύκειο)

#2

mathxl έγραψε:Να υπολογίστετ το ολοκλήρωμα $\displaystyle{I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta } }$ (αν και ήθελα να το βάλω στο φάκελο-λύκειο)

Βασίλη, δες εδώ viewtopic.php?f=9&t=1184

Από σύμπτωση το έβαλα λίγο πριν το μήνυμά σου.

Φιλικά,

Μιχάλης.

mathxl · #3

Ενδιαφέρον Μιχάλη και συμπτωτικό, με ασυμπτωτική λύση θα έλεγα (διαφορετικό τρόπο υπολογισμού έχω κατα νου

)

#4

mathxl έγραψε:Ενδιαφέρον Μιχάλη και συμπτωτικό, με ασυμπτωτική λύση θα έλεγα (διαφορετικό τρόπο υπολογισμού έχω κατα νου )

Βασίλη,

Μία απευθείας λύση είναι ως εξής:

α) αλλαγή μεταβλητής από θ σε π/2 - θ, μας δίνει παρόμοιο ολοκλήρωμα αλλά
με lnσυν
β) προσθέτουμε τα δύο ίσα ολοκληρώματα που έχουμε. Αναγώμαστε στο
γ) ολοκλήρωμα του lnημ2θ
δ) αλλαγή μεταβλητής από 2θ σε θ.
ε) κόβουμε το ολοκλήρωμα που προκύπτει σε δύο, από 0 έως π/2 και από π/2 ως π.
στ) τα δύο τελευταία είναι ίσα γιατί το ημ(π-θ) = ημθ, και λοιπά.

Φιλικά,
Μιχάλης Λάμπρου

mathxl · #5

Σωστά αυτό είναι το σκεπτικό, αλλά δούλεψα με την μισή γωνία
$\displaystyle{\begin{array}{l} I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln 2d\theta } + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } = \\ = \frac{\pi }{2}\ln 2 + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } - \int\limits_\pi ^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu \frac{{\left( {\pi - t} \right)}}{2}} \right)dt} = \\ = \frac{\pi }{2}\ln 2 + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \frac{\theta }{2}} \right)d\theta } + \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\ln \left( {\eta \mu \frac{t}{2}} \right)dt} = \\ \end{array}}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} = \frac{\pi }{2}\ln 2 + \int\limits_0^\pi {\ln \left( {\eta \mu \frac{t}{2}} \right)dt} \mathop = \limits^{t = 2\theta } \frac{\pi }{2}\ln 2 + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\ln \left( {\eta \mu \theta } \right)d\theta } = \\ = \frac{\pi }{2}\ln 2 + 2I \\ I = - \frac{\pi }{2}\ln 2 \\ \end{array}}$

johnbausis · #6

Συγνώμη αν μου διαφέυγει κάτι αλλά η ln(ημθ) στο 0 είναι συνεχής?

mathxl · #7

Γιαυτό το έβαλα στο ΑΕΙ

#8

Βασίλη ο τρόπος σου είναι πάρα πολύ ωραίος!! Όμως :

mathxl έγραψε: $I =... = \frac{\pi }{2}\ln 2 + 2I \\I=-\frac{\pi}{2}\ln2$

. Εδω χρειάζεται λίγη προσοχή. Είναι το σημείο που φαίνεται ότι πρέπει να δείξει κανείς ότι το ολοκλήρωμα συγκλίνει. Προσθέτω λοιπόν :
$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}|\ln(\sin x)|\,dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\frac{1}{\sin x}\,dx\leq\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\ln\frac{\pi}{2x}\,dx=\\ \frac{\pi}{2}\ln\frac{\pi}{2}-\Big(x\ln x -x\Big)\Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}+\displaystyle\lim_{x\to 0}x\ln x=\frac{\pi}{2}$

papel · #9

MIA ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΙ ΤΟ ΙΔΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΕ ΤΗΝ ΜΟΝΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΟ ln(ημθ) ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΥΨΩΜΕΝΟ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ ΔΗΛΑΔΗ
(ln(ημθ))^2.ΠΟΛΥ ΘΑ ΗΘΕΛΑ ΝΑ ΔΩ ΚΑΠΟΙΑ ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ.

#10

Αυτό είναι το Α3 του Putnam 1953.

http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... utn53.html

Φυσικά, έχει εμφανισθεί σε πάμπολλα βιβλία από τότε (ίσως κι από πριν ...).

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Re: Ένα βραδυνό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση