Σύγκριση

S.E.Louridas · #1

Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x,y, ώστε:
$0 < y < x < \frac{\pi }{2}.$
Να συγκριθούν οι αριθμοί:
$\left( {\frac{{1 + \sin y}} {{1 - \sin y}}} \right)^{\sin x} \;\kappa \alpha \iota \quad \left( {\frac{{1 + \sin x}} {{1 - \sin x}}} \right)^{\sin y} .$

S.E.Louridas

#2

S.E.Louridas έγραψε:Θεωρούμε τους πραγματικούς αριθμούς x,y, ώστε:
$0 < y < x < \frac{\pi }{2}.$
Να συγκριθούν οι αριθμοί:
$\left( {\frac{{1 + \sin y}} {{1 - \sin y}}} \right)^{\sin x} \;\kappa \alpha \iota \quad \left( {\frac{{1 + \sin x}} {{1 - \sin x}}} \right)^{\sin y} .$

S.E.Louridas

Είναι

$\displaystyle{\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)^{\sin y}>\left(\frac{1+\sin y}{1-\sin y}\right)^{\sin x}\Leftarrow\frac{\ln\left(\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right)}{\sin x}>\frac{\ln\left(\frac{1+\sin y}{1-\sin y}\right)}{\sin y}\stackrel{\sin x:=x_{1}>x_{2}:=\sin y}{\Leftarrow}\frac{\ln\left(\frac{1+x_{1}}{1-x_{1}}\right)}{x_{1}}>\frac{\ln\left(\frac{1+x_{2}}{1-x_{2}}\right)}{x_{2}}}$

Όμως η $\displaystyle{f(x):=\frac{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}{x}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο $[0,1)\qquad \boxed{*}$ .

$\displaystyle{\boxed{*}}$ Είναι $\displaystyle{f{'}(x)=\frac{(x^2-1)\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)+2x}{x^2(1-x^2)}}$ και ο αριθμητής βγαίνει θετικός στο [0,1)

με μελέτη νέας συνάρτησης.

Διορθώθηκε λάθος. Ευχαριστώ το Γιώργο Μπαλόγλου

Νικος Αντωνόπουλος · #3

Αν g(x)= $\frac{2x}{1-x^{2}}-ln\frac{1+x}{1-x},0\leq x$ <1 τότε $g'(x)=\frac{4x^2}{(1-x^2)^2}$ >0 στο (0, 1), οπότε η g είναι γν. αύξουσα στο [0, 1). Επιπλέον g(0)=0. Αν τώρα θεωρήσουμε την $f(x)=\frac{1}{x}ln\frac{1+x}{1-x}$ , 0<x<1 τότε f'(x)= $\frac{1}{x^2}$ g(x)>0 στο (0, 1). Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε
y<x $\Rightarrow$ siny<sinx (στο α' τεταρτημόριο) $\Rightarrow$ f(siny)<f(sinx), απ' όπου εύκολα συνάγουμε ότι ο πρώτος αριθμός ειναι μικρότερος απο το δεύτερο.

Σύγκριση

Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Re: Σύγκριση

Μέλη σε σύνδεση