Aπο putnam...

[chris_gatos]

Eστω f συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, η οποία ικανοποιεί την παρακάτω σχέση:
f (x) + f '' (x)= -xg(x)f'(x), όπου g(x)>=0 για κάθε χ πραγματικό αριθμό..
Να αποδείξετε πως η συνάρτηση |f(x)| είναι φραγμένη...

[papel]

Μερικες σκεψεις για την ασκηση :

1)Μηπως ειναι αρκετο να δειξουμε οτι (f(x))^2 ειναι φραγμενη αντι της απολυτου τιμης
(διερωταμαι αν μπορει καποιος να δωσει και μια θεωρητικη αποδειξη ωστε να το εχομε σαν λημμα)

2)Αν ναι τοτε ας παρουμε την ποσοτητα (f(x))^2+(f ' (x))^2 και παραγωγισουμε καταληγουμε στο
d/dx (f(x)^2+f '(x)^2) = ...= -2x(g(x))(f ' (x))^2<=0 απο τα στοιχεια της ασκησης.

Αρα η πρωτη παραγωγος της ποσοτητας (f(x))^2+(f ' (x))^2 ειναι αρνητικη αρα φθινουσα σαν συναρτηση και αρα το μεγιστο της ποσοτητας επιτυγχανεται για χ=0 συνεπως

(f(x))^2<=f(0)^2+f'(0)^2 για καθε χ=>0