Προύβορντισπρούβ (1)

#1

Έστω συνάρτηση $g:(a,x_{0})\cup(x_{0},b)\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της και έστω $A:=\{x\in(a,x_{0})\cup(x_{0},b):g^{\prime}(x)=0\}$ . Αν $\displaystyle\lim_{x\in A\,\,\, x\to x_{0}}g(x)=l$ , τότε και $\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=l$ .

dement · #2

Προυβ, αι θινκ...

Εστω οτι δεν ισχυει $\displaystyle \lim_{x \to x_0}g(x) = l$ . Τοτε, για καποιο $\epsilon > 0$ , θα υπαρχουν σημεια

οσοδηποτε κοντα στο x_0

με $|g(x) - l| > \epsilon$ . Παιρνουμε το $\delta > 0$ που αντιστοιχει στο $\epsilon$ απο το οριο της g|A

.

Ετσι, μπορουμε να διαλεξουμε τρια διαδοχικα σημεια x_1, x_2, x_3

με τα

ομοσημα και απολυτως μικροτερα του $\delta$ , με τα χαρακτηριστικα $x_1, x_3 \in A$ και $|g(x_2) - l| > \epsilon$ . Στο ελαχιστο (αν g(x_2) < g(x_1)

) η στο μεγιστο (αντιθετως) της

στο διαστημα [x_1, x_3]

(ας το ονομασουμε $x_{ex}$ ) θα ισχυει λοιπον $g^{\prime} (x_{ex}) = 0$ (οποτε $x_{ex} \in A$ ) και $|g(x_{ex}) - l| > \epsilon$ , πραγμα που αντικειται στο δεδομενο οριο.

Δημητρης Σκουτερης

#3

dement έγραψε:Προυβ, αι θινκ...

Εστω οτι δεν ισχυει $\displaystyle \lim_{x \to x_0}g(x) = l$ . Τοτε, για καποιο $\epsilon > 0$ , θα υπαρχουν σημεια οσοδηποτε κοντα στο με $|g(x) - l| > \epsilon$ . Παιρνουμε το $\delta > 0$ που αντιστοιχει στο $\epsilon$ απο το οριο της .

Ετσι, μπορουμε να διαλεξουμε τρια διαδοχικα σημεια με τα ομοσημα και απολυτως μικροτερα του $\delta$ , με τα χαρακτηριστικα $x_1, x_3 \in A$ και $|g(x_2) - l| > \epsilon$ . Στο ελαχιστο (αν ) η στο μεγιστο (αντιθετως) της στο διαστημα (ας το ονομασουμε $x_{ex}$ ) θα ισχυει λοιπον $g^{\prime} (x_{ex}) = 0$ (οποτε $x_{ex} \in A$ ) και $|g(x_{ex}) - l| > \epsilon$ , πραγμα που αντικειται στο δεδομενο οριο.

Δημητρης Σκουτερης

Πολύ ωραία! Νομίζω Δημήτρη πως δε μας χρειάζεται $\color{red}x_{1},x_{3}\in A$ . Μας αρκεί που, αν $g(x_{2})>l+\varepsilon$ , για το $x_{\mu\varepsilon\gamma}$ είναι $x_{\mu\varepsilon\gamma}\in A$ , $0<|x_{\mu\varepsilon\gamma}-x_{0}|<\delta$ και $g(x_{\mu\varepsilon\gamma})\geq g(x_{2})>l+\varepsilon$ , ενώ αν $g(x_{2})<l-\varepsilon$ , για το $x_{\varepsilon\lambda}$ είναι $x_{\varepsilon\lambda}\in A$ , $0<|x_{\varepsilon\lambda}-x_{0}|<\delta$ και $g(x_{\varepsilon\lambda})\leq g(x_{2})<l-\varepsilon$ . Τι λες και εσύ

EDIT: Ο κοκκινισμένος ισχυρισμός είναι λάθος. Βλέπε και εδώ

dement · #4

Γεια σου Τασο. Πολυ πιθανον να εχεις δικιο. Εγω, για να ειμαι σιγουρος για την υπαρξη του μεγιστου η του ελαχιστου

προτιμησα πρωτα να το περικλεισω σε ενα κλειστο διαστημα [x_1, x_3]

, με "καλως συμπεριφερομενα" ακρα (τιμες 'εντος ζωνης') που να μην περιεχει το x_0

, αλλα απο την αλλη να περιεχει τουλαχιστον ενα "αναρχικο" σημειο (το x_2

, με τιμη 'εκτος ζωνης') για να χρησιμοποιησω ανενοχλητος την ιδιοτητα της συνεχειας. Ισως παραημουν προσεχτικος...

Δημητρης

Προύβορντισπρούβ (1)

Προύβορντισπρούβ (1)

Re: Προύβορντισπρούβ

Re: Προύβορντισπρούβ

Re: Προύβορντισπρούβ

Μέλη σε σύνδεση