Ανισότητα

mathxl · #1

Αναπάντητη από μαθλινκσ

Να αποδείξετε ότι για κάθε συνάρτηση

συνεχή στο [0,1]

ισχύει

$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}\frac{1-x^{n+1}}{1-x}f(x)\,dx\le\frac{1}{2}\Big(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}\Big)\int_{0}^{1}f^{2}(x)\,dx+\Big(\sum_{k=0}^{n}\frac{k+1}{4k+2}\Big)\Big(\int_{0}^{1}f(x)dx \Big)^{2}$

#2

Επαναφορά.

#3

Δεν είναι δύσκολο. Από Cauchy-Schwarz έχουμε:

$\displaystyle \left(\displaystyle \int_0^1 x^kf(x) \, \mathrm{d}x\right)^2 \leqslant \int_0^1 x^{2k} \, \mathrm{d}x\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2k+1} \int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x$

Άρα

$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1}{2(k+1)}\int_0^1 f^2(x) \, \mathrm{d}x + \frac{k+1}{4k+2} \left( \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x\right)^2 &\geqslant \frac{2k+1}{2(k+1)}\left(\int_0^1 x^kf(x) \, \mathrm{d}x\right)^2 + \frac{k+1}{4k+2} \left( \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x\right)^2 \\ &\geqslant \int_0^1 f(x) \, \mathrm{d}x \int_0^1 x^kf(x) \, \mathrm{d}x \end{aligned}$

Προσθέτοντας τώρα από k=0

έως

παίρνουμε το ζητούμενο.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση