κυρτή για ζέσταμα

caley-hamilton · #1

Έστω $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ κυρτή μη σταθερή σε κανένα υποδιάστημα του (a,b)

.Δείξτε ότι η

δεν παίρνει max τιμή στο (a,b)

.

(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)

#2

Καλή σας μέρα και καλό μήνα. Είναι το πρώτο μου μήνυμα με την νέα εμφάνιση του mathematica. Καλορίζικη λοιπόν.
Χρειαζόμαστε ένα ορισμό για την κυρτή. Ξεκινάω με ένα (από τους πολλούς) παραδεδεγμένο (γενικό και μη σχολικό):
$\bullet$ Μία συνάρτηση

είναι κυρτή στο διάστημα $\Delta$ αν για κάθε $x,y \in \Delta$ και $p,q\in \left[ 0,1\right]$ με p+q=1

ισχύει $f\left( px+qy\right) \leq pf\left( x\right) +qf\left( y\right)$
που είναι ισοδύναμος με τις συνθήκες
$\bullet$ Αν $x,y,z\in \Delta$ με x<y<z

τότε $\frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\leq \frac{f\left( z\right) -f\left( y\right) }{z-y}$
$\bullet$ Αν $x,y,z\in \Delta$ με x<y<z

τότε $\frac{f\left( y\right) -f\left( x\right) }{y-x}\leq \frac{f\left( z\right) -f\left( x\right) }{z-x}$

Ας υποθέσουμε τώρα ότι η συνάρτηση μας παρουσιάζει μέγιστο σε κάποιο x_0

. Επειδή εργαζόμαστε σε ανοικτό διάστημα αυτό θα περιέχει κάποια x_1

,

ώστε $x_{1}<x_{0}<x_{2}$ . Τότε με ένα εύκολο υπολογισμό προσήμων στην σχέση
$\frac{\overset{\leq 0}{\overbrace{f\left( x_{1}\right) -f\left( x_{0}\right) }}}{\underset{<0}{\underbrace{x_{1}-x_{0}}}}\leq \frac{\overset{\geq 0}{\overbrace{f\left( x_{0}\right) -f\left( x_{2}\right) }}}{\underset{<0}{\underbrace{x_{0}-x_{2}}}}$
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι πρέπει $f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{0}\right) =f\left( x_{2}\right)$ .
Παίρνουμε τώρα ένα

με $x_{1}<x<x_{0}<x_{2}$ . Θα είναι
$\frac{f\left( x\right) -f\left( x_{1}\right) }{x-x_{1}}\leq \frac{f\left( x_{0}\right) -f\left( x_{1}\right) }{x_{0}-x_{1}}=0$
και επομένως $f\left( x\right) \leq f\left( x_{1}\right) =f\left( x_{0}\right)$ όπως επίσης
$\frac{f\left( x_{0}\right) -f\left( x\right) }{x_{0}-x}\leq \frac{f\left( x_{2}\right) -f\left( x_{0}\right) }{x_{2}-x_{0}}=0$
άρα $f\left( x_{0}\right) \leq f\left( x\right)$ . Συνεπώς $f\left( x_{0}\right) =f\left( x\right)$ και η

είναι σταθερή στο $\left[ x_{1},x_{0}\right]$ (άτοπο). Άρα η

δεν έχει μέγιστο.
Μαυρογιάννης

#3

caley-hamilton έγραψε:(Θα ήθελα να δω και σχολικές λύσεις στο παραπάνω ζήτημα!)

Σχολικές λύσεις προϋποθέτουν και σχολικό ορισμό. Με βάση τον σχολικό ορισμό (και με δεδομένη την εξαίρεση της κατακόρυφης εφαπτομένης) η

θα είναι παραγωγίσιμη και η $f^{\prime }$ θα είναι γνησίως αύξουσα. Αν υποτεθεί ότι η

παρουσιάζει μέγιστο στο x_0

επειδή αυτό είναι αναγκαστικά εσωτερικό σημείο θα πρέπει $f^{\prime }\left( x_{0}\right) =0$ . Επομένως στα διαστήματα $\left( \alpha ,x_{0}\right)$ , $\left( x_{0},\beta \right )$ η $f^{\prime }$ θα είναι αντιστοίχως αρνητική και θετική και η

θα είναι γνησίως γθίνουσα και γνησίως αύξουσα. Το x_0

εκτός από μέγιστο αναδεικνύεται και ελάχιστο και επομένως η

είναι σταθερή (άτοπο).
Μαυρογιάννης

κυρτή για ζέσταμα

κυρτή για ζέσταμα

Re: κυρτή για ζέσταμα

Re: κυρτή για ζέσταμα

Μέλη σε σύνδεση