Είναι σταθερή

#1

Έστω $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x+\sqrt 2)\le f(x)\le f(x+1),\forall x\in\mathbb{R} .$

Να δείξετε ότι είναι σταθερή.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

peter · #2

Αρκεί να δείξουμε ότι η

είναι σταθερή στο $[-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ . Επίσης, μπορούμε να υποθέσουμε ότι f(0)=0

.

Παρατηρούμε ότι αν $n,k\in \mathbb N$ τότε $f(n-k\sqrt{2})\geq f(n)\geq f(0)=0$ ενώ, $f(k\sqrt{2}-n)\leq f(k\sqrt{2})\leq f(0)=0$ .

Θέτουμε $t_n=n/\sqrt{2}-[n/\sqrt{2}]$ , οπότε από το θεώρημα του Kronecker η $t_n\sqrt{2}=n-[n/\sqrt{2}]\sqrt{2}$ είναι πυκνή στο $[0,\sqrt{2}]$ . Αν λοιπόν $x\in [0,\sqrt{2}]$ , υπάρχει $A\subset \mathbb N$ άπειρο ώστε $\lim_{n\in A}(t_n\sqrt{2})=x$ . Λόγω συνέχειας και της προηγούμενης παρατήρησης έχουμε $f(x)=\lim_{n\in A}f(t_n\sqrt{2})\geq 0$ . Όμοια, επειδή η (-t_n)

είναι πυκνή στο $[-\sqrt{2},0]$ βρίσκουμε ότι $f(x)\leq 0$ για κάθε $x\in [-\sqrt{2},0]$ .

Αν πάρουμε $x\in [-\sqrt{2},0]$ τότε $0\leq f(x+\sqrt{2})\leq f(x)\leq 0$ . Επομένως, είναι f(x)=0

για κάθε $x\in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ .

Είναι σταθερή

Είναι σταθερή

Re: Είναι σταθερή

Μέλη σε σύνδεση