Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6603
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:
Επικοινωνία socrates

Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates »

Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε 2^{y+1}f(x)+2^{x+1}f(y) = f(x+y)+4^yf(x-y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Θανάσης Κοντογεώργης
Ετικέτες:
συναρτησιακή
Κορυφή
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1515
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Παύλος Μαραγκουδάκης

Re: Συναρτησιακή με συνεχή συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης »

Θέτουμε \displaystyle{g(x)=\frac{f(x)}{2^x}}. Τότε η g είναι συνεχής και 2g(x)+2g(y) = g(x+y)+g(x-y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
Για x=y=0 προκύπτει g(0)=0.
Για x=y προκύπτει g(2x)=4g(x).
Για y=-x παίρνουμε g(-x)=g(x), δηλαδή η g είναι άρτια.
Έστω n θετικός ακέραιος. Θα δείξουμε ότι g(mx)=m^2g(x) για κάθε θετικό ακέραιο m με m\leq n και κάθε x πραγματικό.
Για n=1 προφανώς ισχύει.
Αν ισχύει για κάποιον n θετικό ακέραιο θα δείξουμε ότι ισχύει και για τον n+1.
Είναι 2g(nx)+2g(x)=g((n+1)x)+g((n-1)x) οπότε g((n+1)x)=\left(n+1 \right)^2g(x).
Αν τώρα m θετικός ακέραιος, θα είναι \displaystyle{m^2g(\frac{n}{m}x)=g(nx)=n^2g(x)}.
Άρα g(rx)=r^2g(x) για κάθε r θετικό ρητό. Λόγω συνέχειας και επειδή είναι η g είναι άρτια θα ισχύει για κάθε r πραγματικό.
Για x=1 προκύπτει g(r)=ar^2 για κάθε r πραγματικό όπου a=g(1).
Άρα f(x)=a2^xx^2. Όλες αυτές επαληθεύουν την αρχική.
Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες