Άλλη μία εξίσωση Cauchy

#1

Αν $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι μία προσθετική συνάρτηση ώστε να υπάρχει ανοικτός δίσκος

που δεν έχει κοινό σημείο με το γράφημα της,

να αποδειχθεί ότι η είναι γραμμική *

$S=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2/ (x-a)^2+(y-b)^2<r\}, (a,b) \in \mathbb{R}^2, r>0$

*να γίνει: ότι είναι γραμμική

Ιστοσελίδα · #2

Μήπως λείπει τίποτα στη διατύπωση;;; (εκτός του ότι η

θέλουμε να δείξουμε ότι είναι γραμμική;)

#3

Δεν λείπει τίποτε, εκτός και αν εννοείς ότι υπάρχει ένα παραπάνω "η" , το οποίο, νομίζω δεν είναι πρόβλημα.
Επαναδιατυπώνω λοιπόν το ζητούμενο: να δειχθεί ότι είναι γραμμική.

#4

Επαναφορά!

#5

Κλασικά ισχύει ότι υπάρχει $\lambda$ ώστε $f(q) = \lambda q$ για κάθε ρητό

. Έστω λοιπόν ότι η

δεν είναι γραμμική. Τότε υπάρχει άρρητος

και $\mu \neq \lambda$ ώστε $f(r) = \mu r$ . Τότε ισχύει και ότι $f(qr) = \mu r$ για κάθε ρητό

.

Θα δείξουμε ότι για κάθε $\varepsilon >0$ υπάρχουν ρητοί p,q

ώστε
(α) $|p + qr - a| < \varepsilon$ και
(β) $|f(p+qr)-b| < \varepsilon$ .

Αυτό δείχνει ότι η γραφική παράσταση της

έχει κοινά σημεία με τον (ανοικτό) δίσκο κέντρου (a,b)

και ακτίνας $\sqrt{2}\varepsilon$ οπότε παίρνοντας $\varepsilon$ αρκετά μικρό καταλήγουμε σε άτοπο.

Για να δείξουμε τα (α),(β) λύνουμε πρώτα το σύστημα p+qr = a

και $\lambda p + \mu qr = b$ . Επειδή η ορίζουσα του συστήματος ισούται με $\mu - \lambda \neq 0$ το σύστημα έχει λύση στους πραγματικούς έστω την (p',q')

. Για $\delta > 0$ παίρνουμε ρητούς p,q

με $|p-p'| < \delta$ και $|q-q'| < \delta$ . Τότε τα (α) και (β) θα ικανοποιούνται αρκεί το $\delta$ να είναι αρκετά μικρό ώστε $(1+|r|)\delta < \varepsilon$ και $(|\lambda| + |r\mu|)\delta < \varepsilon$ κάτι που μπορούμε να επιτύχουμε.

#6

Ας το δούμε κάπως αλλιώς:

Να αποδείξουμε το ισοδύναμο: Μία προσθετική συνάρτηση $\displaystyle{f: \Bbb{R} \to \Bbb{R}}$ που δεν είναι γραμμική, έχει πυκνό γράφημα ( $\displaystyle{G(f)}$ ) στο $\displaystyle{\Bbb{R}}$ .

Επειδή δεν είναι γραμμική θα υπάρχουν $\displaystyle{x,y \neq 0}$ με $\displaystyle{\frac {f(x)}{x} \neq \frac {f(y)}{y}}$ , άρα τα διανύσματα

$\displaystyle{u=(x,f(x)), v=(y,f(y))}$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, άρα $\displaystyle{<u,v>=\Bbb{R}^2}$ .

Από την πυκνότητα του $\displaystyle{\Bbb{Q}}$ στο $\displaystyle{\Bbb{R}}$ προκύπτει ότι αν $\displaystyle{S=\{pu+qv/p,q \in \Bbb{Q}\}}$ , τότε

$\displaystyle{\overline{S}=\Bbb{R}^2}$ (1)

Από τη γραμμικότητα της $\displaystyle{f}$ έχουμε $\displaystyle{S \subset G(f)}$ , άρα $\displaystyle{\overline{S} \subset \overline{G(f)}}$ και από την (1)

$\displaystyle{\overline{G(f)}=\Bbb{R}^2}$ και τελειώσαμε.

Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Re: Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Re: Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Re: Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Re: Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Re: Άλλη μία εξίσωση Cauchy

Μέλη σε σύνδεση