μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

mathxl · #1

$\displaystyle \int_0^ \infty {\frac{1}{{(1 + {x^a})(1 + {x^2})}}} dx,a > 0$

Άλλαξα την εκφώνηση.

Ευχαριστώ τον Τάσο Κοτρώνη και τον persona no grata

#2

Τώρα μάλιστα ...

Έστω $\displaystyle{I=\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}}$ . Τότε με την αντικατάσταση $\displaystyle{x=\frac{1}{u}}$ προκύπτει ... $\displaystyle{I=\int_{0}^{\infty }{\frac{u^{a}}{(u^{2}+1)(u^{a}+1)}du}=\int_{0}^{\infty }{\frac{x^{a}}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}}$ οπότε

$\displaystyle{2I=\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}+\int_{0}^{\infty }{\frac{x^{a}}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}=\int_{0}^{\infty }{\frac{1+x^{a}}{(x^{2}+1)(x^{a}+1)}dx}=\int_{0}^{\infty }{\frac{1}{x^{2}+1}dx}}$ .

Με την αντικατάσταση $\displaystyle{x=tan{u}}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{2I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}{1du}=\frac{\pi }{2}}$

Συνεπώς $\displaystyle{I=\frac{\pi }{4}}$

mathxl · #3

Καλημέρα.
Μία άλλη λύση
$\begin{array}{l} \displaystyle\ I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{(1 + {x^\alpha })(1 + {x^2})}}} dx\mathop = \limits_{dx = \frac{{dt}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}t}}}^{x = \varepsilon \varphi t} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^\alpha }t}}} dt = \\ = \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t}}{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t + \eta {\mu ^\alpha }t}}} dt\mathop = \limits_{dt = - du}^{t = \frac{\pi }{2} - u} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\eta {\mu ^\alpha }u}}{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }u + \eta {\mu ^\alpha }u}}} dx = J \\ \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {I + J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} 1 dt = \frac{\pi }{2}} \\ {I = J} \\ \end{array}} \right\} \Rightarrow I = \frac{\pi }{4} \\ \end{array}$

#4

Η απευθείας

mathxl έγραψε: $\displaystyle\ I = \int\limits_0^{ + \infty } {\frac{1}{{(1 + {x^\alpha })(1 + {x^2})}}} dx\mathop = \limits_{dx = \frac{{dt}}{{\sigma \upsilon {\nu ^2}t}}}^{x = \varepsilon \varphi t} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + \varepsilon {\varphi ^\alpha }t}}} dt = \\ = \displaystyle \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t}}{{\sigma \upsilon {\nu ^\alpha }t + \eta {\mu ^\alpha }t}}} dt$
$\color{red}=$ $\displaystyle\frac{\frac{\pi}{2}}{2}=\frac{\pi}{4}$

Όμορφη ασκησούλα!!

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

Re: μεσημεριανό ολοκλήρωμα 1

Μέλη σε σύνδεση